Uma empresa agrícola determinou que a relação entre a produção P, em toneladas, de certo tipo de soja e a quantidade x, de um certo fertilizante é dada por:
P(x)=15 x+x^2-x^3/3
Determine:
O intervalo de crescimento da produção, ou seja, o intervalo em que P'(x) > 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que relaciona a produção de soja ( P) com a quantidade de fertilizante usada ( x). A função é:
O que a gente precisa descobrir aqui é em que intervalo de valores de x a produção está aumentando. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da função, que nos mostra a taxa de variação da produção em relação ao fertilizante.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função P(x) em relação a x, que é representada por . A derivada vai nos dizer se a função está crescendo ou diminuindo naquele ponto.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função separadamente:
  • A derivada de em relação a x é .
  • A derivada de x^2 é .
  • A derivada de é .
Então, a derivada completa é:

Passo 4

Agora, queremos saber quando , ou seja, quando a derivada é positiva. Isso indicará os valores de x onde a produção está crescendo.

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
Para facilitar, vamos reescrever a inequa�o:
Ou

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática para determinar os intervalos. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 7

Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais:
Então:

Passo 8

As raízes são e . Agora, vamos analisar os intervalos definidos por essas raízes para saber onde a inequação é verdadeira.

Passo 9

Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  1. Para :
ã
  1. Para x = 0:
  1. Para :
ã

Passo 10

A inequação é satisfeita no intervalo . Porém, como estamos falando de quantidade de fertilizante, x não pode ser negativo. Então, o intervalo relevante é .

Resposta

A produção está crescendo quando a quantidade de fertilizante está entre 0 e unidades. Ou seja, no intervalo:

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