Uma empresa agrícola determinou que a relação entre a produção
, em toneladas, de certo tipo de soja e a quantidade
, de um certo fertilizante é dada por:
Determine:
O intervalo de crescimento da produção, ou seja, o intervalo em que
0 .
O intervalo de crescimento da produção, ou seja, o intervalo em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que relaciona a produção de soja (
) com a quantidade de fertilizante usada (
). A função é:
O que a gente precisa descobrir aqui é em que intervalo de valores de
a produção está aumentando. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da função, que nos mostra a taxa de variação da produção em relação ao fertilizante.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que é representada por
. A derivada vai nos dizer se a função está crescendo ou diminuindo naquele ponto.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada completa é:
Passo 4
Agora, queremos saber quando
, ou seja, quando a derivada é positiva. Isso indicará os valores de
onde a produção está crescendo.
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Para facilitar, vamos reescrever a inequa�o:
Ou
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática
para determinar os intervalos. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 7
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais:
Então:
Passo 8
As raízes são
e
. Agora, vamos analisar os intervalos definidos por essas raízes para saber onde a inequação
é verdadeira.
Passo 9
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
A inequação
é satisfeita no intervalo
. Porém, como estamos falando de quantidade de fertilizante,
não pode ser negativo. Então, o intervalo relevante é
.
Resposta
A produção está crescendo quando a quantidade de fertilizante está entre
e
unidades. Ou seja, no intervalo: