Encontre a derivada das funções dadas usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x) = (1 - x) / (2 + x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, devemos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a funções racionais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Essa fórmula nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, calculamos a diferença :
Para subtrair essas frações, precisamos encontrar um denominador comum.

Passo 5

O denominador comum será . Assim, ajustamos as frações:

Passo 6

Vamos expandir o numerador:

Passo 7

Subtraindo as duas expressões:
Portanto, o numerador simplifica para .

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da diferença e dividimos por :

Passo 9

Por fim, calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função é:
Domínios:
  • Domínio da função : Todos os valores de exceto (pois o denominador não pode ser zero).
  • Domínio da derivada : Mesmos valores que a função original, ou seja, .

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