Encontre a derivada das funções dadas usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, devemos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a funções racionais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Essa fórmula nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, calculamos a diferença
:
Para subtrair essas frações, precisamos encontrar um denominador comum.
Passo 5
O denominador comum será
. Assim, ajustamos as frações:
Passo 6
Vamos expandir o numerador:
Passo 7
Subtraindo as duas expressões:
Portanto, o numerador simplifica para
.
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão da diferença e dividimos por
:
Passo 9
Por fim, calculamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função é:
Domínios:
-
Domínio da função
: Todos os valores de exceto (pois o denominador não pode ser zero). -
Domínio da derivada
: Mesmos valores que a função original, ou seja, .