A empresa Alfa, com sede e filiais na cidade de Belo Horizonte, possui um sistema de transmissão de dados via rádio de 512 Kbps (Rede Wireless) que conecta todas as suas unidades. O setor de informática da empresa observou, durante um mês, a taxa máxima de transferência da rede, obtendo os seguintes valores em Kbps:
311 385 426 460 482 507
272 361 410 458 475 497
213 359 410 452 471 494
352 400 440 468 491 511
320 392 435 461 487 509
Determine o desvio padrão obtido nas medições da taxa máxima de transferência da rede observada pela empresa, em Kbps:
a) 78,45
b) 56,18
c) 82,97
d) 100,65
e) 73,84

Passo 1

O enunciado dá uma lista de medições (em Kbps) da taxa máxima de transferência obtida durante um mês. Os valores são, em ordem:
311,\;385,\;426,\;460,\;482,\;507,
272,\;361,\;410,\;458,\;475,\;497,
213,\;359,\;410,\;452,\;471,\;494,
352,\;400,\;440,\;468,\;491,\;511,
320,\;392,\;435,\;461,\;487,\;509
O que a questão pede: determinar o desvio padrão obtido nessas medições, em Kbps, e escolher a alternativa correta entre:
a) 78,45 \n b) 56,18 \n c) 82,97 \n d) 100,65 \n e) 73,84
Informações relevantes extraídas do enunciado: temos 30 medições (5 linhas × 6 valores por linha = 30 observações).

Passo 2

Decidir qual fórmula usar e por quê.
Quando temos todas as observações que queremos analisar (a amostra é, na prática, o conjunto completo de medições registradas), o desvio padrão que faz sentido é o “desvio padrão populacional”, dado por:
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}
Aqui:
  • \sigma é o desvio padrão populacional (o que vamos calcular);
  • n é o número de medições (aqui n=30);
  • x_i são as medições individuais;
  • \bar x é a média aritmética das medições.
Observação didática rápida: existe também o desvio padrão amostral (com divisor n-1), usado quando as observações são uma amostra de uma população maior e queremos estimar o desvio da população. Como estamos tratando as 30 medições observadas do mês como o conjunto de interesse, usamos o divisor n. Se aparecesse ambiguidade no enunciado, é comum em exercícios de estatística usar n quando listam todas as observações.

Passo 3

Cálculo da média \bar x.
Primeiro somamos todas as 30 medições. Eu somei linha a linha (mostrando os somatórios parciais):
\text{Soma da linha 1} = 311+385+426+460+482+507 = 2571
\text{Soma da linha 2} = 272+361+410+458+475+497 = 2473
\text{Soma da linha 3} = 213+359+410+452+471+494 = 2399
\text{Soma da linha 4} = 352+400+440+468+491+511 = 2662
\text{Soma da linha 5} = 320+392+435+461+487+509 = 2604
Somando todas as linhas:
\sum_{i=1}^{30} x_i = 2571+2473+2399+2662+2604 = 12709
Então a média é
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{12709}{30} = 423{,}633\overline{3}\\ \text{Kbps}.
Explicação: a média é o centro “médio” dos dados; somamos tudo e dividimos pelo número de observações.

Passo 4

Cálculo da soma dos quadrados \sum x_i^2 (necessária para a fórmula prática da variância).
Para evitar calcular todos os termos (x_i-\bar x)^2 individualmente, usamos a forma equivalente:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar x^2.
Portanto precisamos de \sum x_i^2. Calculei os quadrados termo a termo e somei por linhas (mostro os somatórios por linha):
\text{Soma dos quadrados linha 1} = 311^2+385^2+426^2+460^2+482^2+507^2 = 1\,127\,395
\text{Soma dos quadrados linha 2} = 272^2+361^2+410^2+458^2+475^2+497^2 = 1\,054\,803
\text{Soma dos quadrados linha 3} = 213^2+359^2+410^2+452^2+471^2+494^2 = 1\,012\,531
\text{Soma dos quadrados linha 4} = 352^2+400^2+440^2+468^2+491^2+511^2 = 1\,198\,730
\text{Soma dos quadrados linha 5} = 320^2+392^2+435^2+461^2+487^2+509^2 = 1\,154\,060
Somando todas as linhas:
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 1\,127\,395 + 1\,054\,803 + 1\,012\,531 + 1\,198\,730 + 1\,154\,060 = 5\,547\,519.

Passo 5

Cálculo da variância populacional \sigma^2.
Usamos a identidade do passo anterior:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar x^2.
Já temos \sum x_i^2 = 5\,547\,519, n=30 e \bar x = \dfrac{12709}{30}. Calculemos n\bar x^2:
\bar x^2 = \left(\frac{12709}{30}\right)^2 = \frac{161\,518\,681}{900} \approx 179\,465{,}201111\ldots
n\bar x^2 = 30\cdot \bar x^2 \approx 30\cdot 179\,465{,}201111\ldots = 5\,383\,956{,}033333\ldots
Então
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = 5\,547\,519 - 5\,383\,956{,}033333\ldots = 163\,562{,}966666\ldots
A variância populacional é
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 = \frac{163\,562{,}966666\ldots}{30} \approx 5\,452{,}0988889.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão \sigma (raiz quadrada da variância) e escolha da alternativa.
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{5\,452{,}0988889}\approx 73{,}84\\ \text{Kbps}.
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a letra e):
e)\;73{,}84
Breve comentário final e incentivo: deu trabalho, mas seguimos passo a passo — calcular a média, somas dos quadrados, usar a fórmula prática e tirar raiz. Você já tem o método para aplicar a qualquer conjunto de medições parecido. Força aí que você consegue na prova!

Resposta

e) 73,84

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