Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1]. Se sua fdp, for dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{rlc} 0 & \text { se } & x<0 \\\ C x & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ C(1-x) & \text { se } & 1 / 2 \leq x \leq 1 \\\\ 0 & & \text { c.c } \end{array}\right.
a) Qual valor deve ter a constante C ?;
b) Determine a função distribuição acumulada de X;
c) Determine a P(X \leq 1 / 2).
d) Determine E(X) e V(X).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X triangular no intervalo [0,1], com constante C desconhecida:
f(x)=\left\{\begin{array}{rlc} 0 & \text{se} & x<0,\\[4pt] C x & \text{se} & 0 \le x \le 1/2,\\[4pt] C(1-x) & \text{se} & 1/2 \le x \le 1,\\[4pt] 0 & & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
As perguntas são:
a) Qual é o valor de C?\n
b) Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).\n
c) Calcular P\bigl(X\le 1/2\bigr).\n
d) Determinar E(X) e V(X).]
Passo 2
Vamos achar C usando a condição de normalização da densidade: a integral de f em toda a reta deve ser 1. Como f é zero fora de [0,1], temos