Uma variável aleatória X tem distribuição triangular no intervalo [0,1]. Se sua fdp, for dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{rlc} 0 & \text { se } & x<0 \\\ C x & \text { se } & 0 \leq x \leq 1 / 2 \\\ C(1-x) & \text { se } & 1 / 2 \leq x \leq 1 \\\\ 0 & & \text { c.c } \end{array}\right.
a) Qual valor deve ter a constante C ?;
b) Determine a função distribuição acumulada de X;
c) Determine a P(X \leq 1 / 2).
d) Determine E(X) e V(X).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória X triangular no intervalo [0,1], com constante C desconhecida:
f(x)=\left\{\begin{array}{rlc} 0 & \text{se} & x<0,\\[4pt] C x & \text{se} & 0 \le x \le 1/2,\\[4pt] C(1-x) & \text{se} & 1/2 \le x \le 1,\\[4pt] 0 & & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
As perguntas são:
a) Qual é o valor de C?\n
b) Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).\n
c) Calcular P\bigl(X\le 1/2\bigr).\n
d) Determinar E(X) e V(X).]

Passo 2

Vamos achar C usando a condição de normalização da densidade: a integral de f em toda a reta deve ser 1. Como f é zero fora de [0,1], temos
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1.
Quebramos a integral nas duas peças:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1/2} Cx\,dx + \int_{1/2}^{1} C(1-x)\,dx.
Calculamos cada integral separadamente. Para a primeira:
\int_{0}^{1/2} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^{2}}{2} = \frac{1}{8}.
Para a segunda:
\int_{1/2}^{1} (1-x)\,dx = \left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{1} = \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}.
Logo
C\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1 \quad\Rightarrow\quad C\cdot\frac{1}{4}=1,
portanto
C=4.

Passo 3

Agora construímos a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Vamos tratar regiões:
Para x<0 temos F(x)=0 (pois a densidade é zero à esquerda do suporte).
Para 0\le x\le 1/2 só acumulamos desde 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x} 4t\,dt = 4\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.
(Explicando: usei a primitiva de t que é t^{2}/2, multipliquei por 4.)
Para 1/2\le x\le 1 já acumulamos toda a primeira metade mais a integral da segunda metade até x. Primeiro calculamos o valor em x=1/2:
F\bigl(1/2\bigr)=2\bigl(1/2\bigr)^{2}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Depois adicionamos a parte de 1/2 até x:
\int_{1/2}^{x} 4(1-t)\,dt = 4\left[\;t-\frac{t^{2}}{2}\;\right]_{1/2}^{x} =4\Bigl(x-\frac{x^{2}}{2}-\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\Bigr)\Bigr).
Simplificando o que está entre parênteses:
\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8},
então a integral é
4\Bigl(x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{3}{8}\Bigr)=4x-2x^{2}-\frac{3}{2}.
Somando F(1/2)=1/2 obtemos, para 1/2\le x\le1:
F(x)=\frac{1}{2}+\bigl(4x-2x^{2}-\tfrac{3}{2}\bigr)= -2x^{2}+4x-1.
Para x>1 temos F(x)=1.
Resumindo, a função F é a seguinte:
F(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] -2x^{2}+4x-1, & 1/2\le x\le 1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{array}\right.]

Passo 4

Agora calculamos P\bigl(X\le 1/2\bigr). Basta usar a função F no ponto x=1/2:
P\bigl(X\le 1/2\bigr)=F\bigl(1/2\bigr)=2\bigl(1/2\bigr)^{2}=\frac{1}{2}.
Interpretação rápida: a distribuição é simétrica em torno de 1/2, então faz sentido que metade da massa fique à esquerda de 1/2.

Passo 5

Cálculo de E(X). A fórmula é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_{0}^{1/2} x\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x\cdot 4(1-x)\,dx.
Calculamos cada parcela.
Primeira parcela:
4\int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx =4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} =4\cdot\frac{(1/2)^{3}}{3}=4\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{6}.
Segunda parcela:
4\int_{1/2}^{1} (x - x^{2})\,dx =4\left(\int_{1/2}^{1} x\,dx - \int_{1/2}^{1} x^{2}\,dx\right).
Calculemos as integrais internas:
\int_{1/2}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8},
\int_{1/2}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{24}=\frac{7}{24}.
Então a diferença é
\frac{3}{8}-\frac{7}{24}=\frac{1}{12},
e multiplicando por 4
4\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{3}.
Somando as duas parcelas:
E(X)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
(Como check intuitivo: distribuição simétrica no intervalo [0,1] em torno de 1/2 dá esperança 1/2.)

Passo 6

Cálculo de V(X). Usamos
V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Primeiro achamos E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{1/2} x^{2}\cdot 4x\,dx + \int_{1/2}^{1} x^{2}\cdot 4(1-x)\,dx =4\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx +4\int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx.
Calculamos as partes.
Para a primeira:
4\int_{0}^{1/2} x^{3}\,dx =4\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1/2} =4\cdot\frac{(1/2)^{4}}{4}=4\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{16}.
Para a segunda:
\int_{1/2}^{1} x^{2}\,dx = \frac{7}{24}\quad(\text{já calculado}),á
\int_{1/2}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1/2}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{64}=\frac{15}{64}.
Logo
\int_{1/2}^{1} (x^{2}-x^{3})\,dx = \frac{7}{24}-\frac{15}{64}=\frac{11}{192}.
Multiplicando por 4
4\cdot\frac{11}{192}=\frac{11}{48}.
Somando com a primeira parcela:
E(X^{2})=\frac{1}{16}+\frac{11}{48}=\frac{3}{48}+\frac{11}{48}=\frac{14}{48}=\frac{7}{24}.
Finalmente
V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{7}{24}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{24}-\frac{6}{24}=\frac{1}{24}.

Resposta

(a) C=4
(b) F(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0, & x<0,\\[4pt] 2x^{2}, & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] -2x^{2}+4x-1, & 1/2\le x\le 1,\\[4pt] 1, & x>1, \end{array}\right.
(c) P\bigl(X\le 1/2\bigr)=\dfrac{1}{2}
(d) E(X)=\dfrac{1}{2}, \;V(X)=\dfrac{1}{24}]

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