3.3 A empresa Amalgamated Iron and Steel comprou uma nova máquina para encurvar grandes vigas I com aríete hidráulico. A empresa espera
encurvar 80 vigas, a
2.000
$2.500
18 %$ ao ano, qual é o valor presente da receita esperada?
encurvar 80 vigas, a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Nos anos
a : encurvar vigas por ano a por viga. - Nos anos
a : encurvar vigas por ano a por viga. - Taxa de mínima atratividade (taxa de desconto):
ao ano, isto é .
- Nos anos
- O que se pede:
- Calcular o valor presente (no instante
) da receita esperada (somar as receitas futuras descontadas pela taxa ).
- Calcular o valor presente (no instante
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Valor presente de um recebimento único no tempo
: se receber no final do período , o valor presente no tempo é
porque cada unidade recebida no futuro vale menos hoje — multiplicamos por
, chamado fator de desconto.
- Valor presente de uma série de
pagamentos iguais nos finais dos períodos (anuidade imediata): a fórmula é
Explicando as partes:
é o pagamento por período;
é o desconto acumulado até o tempo
;
mede a fração não descontada; dividir por
ajusta para a soma geométrica dos fatores de desconto. Essa expressão já fornece o valor presente no tempo
.
- Quando uma anuidade começa em um tempo posterior (por exemplo, nos períodos
a ), calcula-se primeiro o valor presente no instante como se fosse uma anuidade normal e depois desconta-se esse valor de até multiplicando por .
Vamos aplicar essas ideias aos dois blocos de receitas do problema.
Passo 3
Calcular as receitas anuais em cada bloco:
- Para os anos
a : receita anual
- Para os anos
a (cinco anos): receita anual
Agora o valor presente do primeiro bloco (anos
a
). Trata-se de uma anuidade de
pagamentos
, taxa
. Usando a fórmula da anuidade:
Calculando passo a passo os fatores:
Logo o fator da anuidade é
Portanto
Passo 4
Agora o segundo bloco (anos
a
): é uma anuidade de
pagamentos
, mas começa no ano
. Primeiro calculamos o valor presente dessa anuidade no instante
(ou seja, imediatamente antes do primeiro pagamento do bloco), usando a fórmula da anuidade com
:
Calculamos os fatores necessários:
Portanto o fator da anuidade de 5 termos é
Então o valor presente desse bloco no tempo
é
Mas precisamos do valor presente no tempo
. Descontamos esse valor 3 períodos usando
(que já calculamos em 0,608507):
Passo 5
Somar os dois blocos para obter o valor presente total da receita esperada:
Interpretação final rápida: o valor presente da sequência de receitas futuras, descontadas a
ao ano, é aproximadamente
. Dá para conferir que cada termo foi descontado corretamente — os pagamentos mais longe (anos 4–8) pesam menos no presente por causa do desconto.