3.3 A empresa Amalgamated Iron and Steel comprou uma nova máquina para encurvar grandes vigas I com aríete hidráulico. A empresa espera
encurvar 80 vigas, a \ 2.000 por viga, em cada um dos 3 primeiros anos. Nos períodos subseqüentes, a empresa espera encurvar 100 vigas por ano, aíü$2.500 por viga, até o ano 8 . Se a taxa de mínima atratividade da empresa é deéíé18 %$ ao ano, qual é o valor presente da receita esperada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Nos anos 1 a 3: encurvar 80 vigas por ano a \$2\,000 por viga.
    • Nos anos 4 a 8: encurvar 100 vigas por ano a \$2\,500 por viga.
    • Taxa de mínima atratividade (taxa de desconto): 18\% ao ano, isto é i=0,18.
  • O que se pede:
    • Calcular o valor presente (no instante 0) da receita esperada (somar as receitas futuras descontadas pela taxa i).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Valor presente de um recebimento único no tempo t: se receber R no final do período t, o valor presente no tempo 0 é
\frac{R}{(1+i)^t},
porque cada unidade recebida no futuro vale menos hoje — multiplicamos por (1+i)^{-t}, chamado fator de desconto.
  • Valor presente de uma série de n pagamentos iguais C nos finais dos períodos 1,2,\dots,n (anuidade imediata): a fórmula é
C\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando as partes: C é o pagamento por período; (1+i)^{-n} é o desconto acumulado até o tempo n; 1-(1+i)^{-n} mede a fração não descontada; dividir por i ajusta para a soma geométrica dos fatores de desconto. Essa expressão já fornece o valor presente no tempo 0.
  • Quando uma anuidade começa em um tempo posterior (por exemplo, nos períodos t+1 a t+n), calcula-se primeiro o valor presente no instante t como se fosse uma anuidade normal e depois desconta-se esse valor de t até 0 multiplicando por (1+i)^{-t}.
Vamos aplicar essas ideias aos dois blocos de receitas do problema.

Passo 3

Calcular as receitas anuais em cada bloco:
  • Para os anos 1 a 3: receita anual
80\\ \text{vigas} \times \$2\,000/\text{viga} = \$160\,000 \text{ por ano}.
  • Para os anos 4 a 8 (cinco anos): receita anual
100\\ \text{vigas} \times \$2\,500/\text{viga} = \$250\,000 \text{ por ano}.
Agora o valor presente do primeiro bloco (anos 1 a 3). Trata-se de uma anuidade de n=3 pagamentos C=\$160\,000, taxa i=0,18. Usando a fórmula da anuidade:
\text{PV}_1 = \$160\,000 \cdot \frac{1-(1+0,18)^{-3}}{0,18}.
Calculando passo a passo os fatores:
(1+0,18)^2 = 1,18^2 = 1,3924,
(1+0,18)^3 = 1,18^3 = 1,643032,
(1+0,18)^{-3} = \frac{1}{1,643032} \approx 0,608507.
Logo o fator da anuidade é
\frac{1-(1+0,18)^{-3}}{0,18} = \frac{1-0,608507}{0,18} = \frac{0,391493}{0,18} \approx 2,174961.
Portanto
\text{PV}_1 \approx \$160\,000 \times 2,174961 \approx \$347\,993{,}78.

Passo 4

Agora o segundo bloco (anos 4 a 8): é uma anuidade de n=5 pagamentos C=\$250\,000, mas começa no ano 4. Primeiro calculamos o valor presente dessa anuidade no instante t=3 (ou seja, imediatamente antes do primeiro pagamento do bloco), usando a fórmula da anuidade com n=5:
\text{PV no tempo 3} = \$250\,000 \cdot \frac{1-(1+0,18)^{-5}}{0,18}.
Calculamos os fatores necessários:
(1+0,18)^4 = 1,18^4 = 1,93877776,
(1+0,18)^5 = 1,18^5 = 2,2877577568,
(1+0,18)^{-5} = \frac{1}{2,2877577568} \approx 0,437238.
Portanto o fator da anuidade de 5 termos é
\frac{1-(1+0,18)^{-5}}{0,18} = \frac{1-0,437238}{0,18} = \frac{0,562762}{0,18} \approx 3,126456.
Então o valor presente desse bloco no tempo 3 é
\$250\,000 \times 3,126456 \approx \$781\,613{,}90.
Mas precisamos do valor presente no tempo 0. Descontamos esse valor 3 períodos usando (1+0,18)^{-3} (que já calculamos em 0,608507):
\text{PV}_2 = \$781\,613{,}90 \times (1+0,18)^{-3} \approx \$781\,613{,}90 \times 0,608507 \approx \$475\,617{,}53.

Passo 5

Somar os dois blocos para obter o valor presente total da receita esperada:
\text{PV}_{\text{total}} = \text{PV}_1 + \text{PV}_2 \approx \$347\,993{,}78 + \$475\,617{,}53 = \$823\,611{,}31.
Interpretação final rápida: o valor presente da sequência de receitas futuras, descontadas a 18\% ao ano, é aproximadamente \$823\,611{,}31. Dá para conferir que cada termo foi descontado corretamente — os pagamentos mais longe (anos 4–8) pesam menos no presente por causa do desconto.

Resposta

\$823\,611{,}31

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