3.2 Um plano para arrecadar dinheiro para as escolas do Texas envolve um “imposto de contribuição social” (enrichment tax), que poderia coletar $56 de cada estudante de determinado distrito escolar. Se há 50.000 estudantes no distrito e o fluxo de caixa se iniciar daqui a 2 anos, qual é o valor presente do imposto de contribuição social ao longo de um período de planejamento de 5 anos a uma taxa de juros de
ao ano?
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Valor por aluno:
. - Número de alunos:
. - Portanto o recebimento anual (se todos pagarem) é
. - O fluxo de caixa “se inicia daqui a 2 anos” e o período de planejamento é de 5 anos. Logo haverá 5 pagamentos anuais, ocorrendo nos instantes
(cinco anos consecutivos começando daqui a 2 anos). - Taxa de juros:
ao ano, isto é .
O que pedem: calcular o valor presente (no instante
) do imposto de contribuição social ao longo desses 5 anos, descontando à taxa
.
Passo 2
Calcular o valor do recebimento anual
e escrever explicitamente os pagamentos.
- Multiplicando:
- Os pagamentos anuais são, portanto,
em cada um dos instantes .
Passo 3
Explicar o conceito que vamos usar: valor presente de fluxos futuros e o fator de desconto.
- Ideia: um dólar recebido no futuro vale menos hoje; para trazer um pagamento de
anos ao valor presente, divide-se por . - Assim o valor presente de um pagamento
recebido em é . - Para vários recebimentos somamos os valores presentes de cada um. Aqui temos uma série de pagamentos iguais (anuidade) iniciando em
.
Passo 4
Escrever a soma que representa o valor presente e transformá-la usando fórmula de soma geométrica / anuidade diferida.
- Valor presente procurado:
- Definindo
, isso fica
- Usando a soma geométrica com
termos:
- Outra forma útil, ligando com a fórmula de anuidade imediata
(valor presente no instante de pagamentos unitários em ), é escrever a anuidade diferida (pagamentos em ) como
Estas expressões são equivalentes; vou usar a segunda porque é a forma padrão para uma anuidade de
pagamentos iniciando em
.
Passo 5
Substituir os números e calcular os fatores intermediários passo a passo (sem pular contas).
- Primeiro
e
- Calcular
. Uma forma prática (sem calculadora científica) é calcular potências de e depois inverter; aqui listo os valores:
Logo
- Agora calcule
:
- Multiplicar por
(para adiantar o início de para ):
(Este número é o fator multiplicador que transforma o pagamento anual
em seu valor presente em
.)
Passo 6
Calcular o valor presente final multiplicando pelo pagamento anual
.
- Lembrando
, temos
- Multiplicando:
Arredondando para o dólar inteiro:
Passo 7
Interpretação curta e incentivo.
- Resultado prático: receber
por ano nos anos a vale hoje aproximadamente descontando a ao ano. - Vai nessa — esse é exatamente o procedimento que você aplicaria na prova: transformar em anuidade, aplicar fator de desconto (anuidade diferida) e multiplicar pelo pagamento anual. Você conseguiu entender a ideia de descontar cada pagamento!