3.2 Um plano para arrecadar dinheiro para as escolas do Texas envolve um “imposto de contribuição social” (enrichment tax), que poderia coletar $56 de cada estudante de determinado distrito escolar. Se há 50.000 estudantes no distrito e o fluxo de caixa se iniciar daqui a 2 anos, qual é o valor presente do imposto de contribuição social ao longo de um período de planejamento de 5 anos a uma taxa de juros de 8 \% ao ano?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Valor por aluno: \$56.
  • Número de alunos: 50{,}000.
  • Portanto o recebimento anual (se todos pagarem) é C = \$56 \times 50{,}000.
  • O fluxo de caixa “se inicia daqui a 2 anos” e o período de planejamento é de 5 anos. Logo haverá 5 pagamentos anuais, ocorrendo nos instantes t=2,3,4,5,6 (cinco anos consecutivos começando daqui a 2 anos).
  • Taxa de juros: 8\% ao ano, isto é r = 0{,}08.
O que pedem: calcular o valor presente (no instante t=0) do imposto de contribuição social ao longo desses 5 anos, descontando à taxa r=8\%.

Passo 2

Calcular o valor do recebimento anual C e escrever explicitamente os pagamentos.
  • Multiplicando:
C = \$56 \times 50{,}000 = \$2{,}800{,}000.
  • Os pagamentos anuais são, portanto, \$2{,}800{,}000 em cada um dos instantes t=2,3,4,5,6.

Passo 3

Explicar o conceito que vamos usar: valor presente de fluxos futuros e o fator de desconto.
  • Ideia: um dólar recebido no futuro vale menos hoje; para trazer um pagamento de t anos ao valor presente, divide-se por (1+r)^{t}.
  • Assim o valor presente de um pagamento C recebido em t é \dfrac{C}{(1+r)^{t}}.
  • Para vários recebimentos somamos os valores presentes de cada um. Aqui temos uma série de pagamentos iguais (anuidade) iniciando em t=2.

Passo 4

Escrever a soma que representa o valor presente e transformá-la usando fórmula de soma geométrica / anuidade diferida.
  • Valor presente procurado:
\text{PV}_0=\sum_{k=2}^{6}\frac{C}{(1+r)^{k}}.
  • Definindo v=\dfrac{1}{1+r}, isso fica
\text{PV}_0 = C\sum_{k=2}^{6} v^{k} = C\bigl(v^{2}+v^{3}+v^{4}+v^{5}+v^{6}\bigr).
  • Usando a soma geométrica com 5 termos:
\sum_{k=2}^{6} v^{k} = v^{2}\frac{1-v^{5}}{1-v}.
  • Outra forma útil, ligando com a fórmula de anuidade imediata \displaystyle a_{n}=\frac{1-v^{n}}{r} (valor presente no instante 0 de n pagamentos unitários em t=1,\dots,n), é escrever a anuidade diferida (pagamentos em t=2,\dots,6) como
\text{PV}_0 = C\;v\;\frac{1-v^{5}}{r}.
Estas expressões são equivalentes; vou usar a segunda porque é a forma padrão para uma anuidade de n pagamentos iniciando em t=2.

Passo 5

Substituir os números e calcular os fatores intermediários passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro r=0{,}08 e
v=\frac{1}{1+r}=\frac{1}{1{,}08}=0{,}9259259259\ldots
  • Calcular v^{5}. Uma forma prática (sem calculadora científica) é calcular potências de 1{,}08 e depois inverter; aqui listo os valores:
(1{,}08)^{1}=1{,}08,\quad (1{,}08)^{2}=1{,}1664,\quad (1{,}08)^{3}=1{,}259712,
(1{,}08)^{4}=1{,}36048896,\quad (1{,}08)^{5}=1{,}4693280768.
Logo
v^{5}=\frac{1}{(1{,}08)^{5}}=\frac{1}{1{,}4693280768}\approx 0{,}6805831970.
  • Agora calcule \dfrac{1-v^{5}}{r}:
1-v^{5}\approx 1-0{,}6805831970 = 0{,}3194168030,
\frac{1-v^{5}}{r} \approx \frac{0{,}3194168030}{0{,}08} = 3{,}9927100375.
  • Multiplicar por v (para adiantar o início de t=1 para t=2):
v\cdot\frac{1-v^{5}}{r} \approx 0{,}9259259259\times 3{,}9927100375 \approx 3{,}6955521378.
(Este número é o fator multiplicador que transforma o pagamento anual C em seu valor presente em t=0.)

Passo 6

Calcular o valor presente final multiplicando pelo pagamento anual C.
  • Lembrando C=\$2{,}800{,}000, temos
\text{PV}_0 = C \times \biggl(v\frac{1-v^{5}}{r}\biggr) \approx \$2{,}800{,}000 \times 3{,}6955521378.
  • Multiplicando:
\text{PV}_0 \approx \$10{,}347{,}545{,}99\ldots
Arredondando para o dólar inteiro:
\text{PV}_0 \approx \$10{,}347{,}546.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado prático: receber \$2{,}800{,}000 por ano nos anos 2 a 6 vale hoje aproximadamente \$10{,}347{,}546 descontando a 8\% ao ano.
  • Vai nessa — esse é exatamente o procedimento que você aplicaria na prova: transformar em anuidade, aplicar fator de desconto (anuidade diferida) e multiplicar pelo pagamento anual. Você conseguiu entender a ideia de descontar cada pagamento!

Resposta

\$10{,}347{,}546

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