A empresa Delícia de Minas do setor de laticínios fabrica os seguintes produtos: iogurte, queijo minas, queijo mussarela, queijo parmesão e queijo provolone. Em função das mudanças estratégicas decorrentes da concorrência de mercado, a empresa está redefinindo seu mix de produção. Para a fabricação de cada um dos cinco produtos, são necessários três tipos de matérias-primas: leite in natura, soro e gordura. A Tabela 2.1 apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para a fabricação de 1 kg de cada produto. A quantidade de matéria-prima diária disponível é limitada (1.200 litros de leite in natura, 460 litros de soro e 650 kg de gordura).
Tabela 2.1 Matéria-prima necessária para a fabricação de 1 kg de cada produto
Produto Leite in natura (L) Soro (L) Gordura (kg)
Iogurte 0,70 0,16 0,25
Queijo minas 0,40 0,22 0,33
Queijo mussarela 0,40 0,32 0,33
Queijo parmesão 0,60 0,19 0,40
Queijo provolone 0,60 0,23 0,47
A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (170 horas-homem/dia). A empresa necessita de 0,05 hora-homem para a fabricação de 1 kg de iogurte, 0,12 hora-homem para a
fabricação de 1 kg de queijo minas, 0,09 hora-homem para queijo mussarela, 0,04 hora-homem para queijo parmesão e 0,16 hora-homem para queijo provolone. Devido a razões contratuais, a empresa necessita produzir uma quantidade mínima diária de 320 kg de iogurte, 380 kg de queijo minas, 450 kg de queijo mussarela, 240kg de queijo parmesão e 180 kg de queijo provolone. A área comercial da empresa garante que existe mercado para absorver qualquer nível de produção, independentemente do produto. A Tabela 2.2 apresenta a margem de contribuição unitária por produto ( R ), que é calculada como a diferença entre o preço de venda e os custos variáveis totais. A empresa tem como objetivo determinar a quantidade de cada produto a ser fabricado de forma a maximizar seu resultado. Formule o problema de programação linear que maximiza o resultado esperado.
Tabela 2.2 Margem de contribuição unitária de cada produto ( ), que é calculada como a diferença entre o preço de venda e os custos variáveis totais A empresa tem como objetivo determinar a quantidade de cada produto a ser fabricado de forma a maximizar seu resu=m de contribuição unitária de cada produto ( )
Produto Preço de <br> venda (R$/kg) Custos variáveis <br> totais (R$/kg) Margem de <br> contribuiçao (RS/kg)
Iogurte 3,20 2,40 0,80
Queijo minas 4,10 3,40 0,70
Queijo mussarela 6,30 5,15 1,15
Queijo parmesão 8,25 6,95 1,30
Queijo provolone 7,50 6,80 0,70

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que o enunciado manda. A Delícia de Minas produz cinco itens (iogurte, queijo minas, mussarela, parmesão e provolone) e quer saber quantos quilos de cada um deve fabricar para ganhar o máximo possível de margem de contribuição. Tudo isso respeitando limites diários de três matérias-primas (leite, soro e gordura), horas de trabalho e ainda produzindo pelo menos uma quantidade mínima de cada produto. O conteúdo aqui é Programação Linear: vamos definir variáveis de decisão, montar uma função objetivo (maximizar o lucro) e impor restrições de recursos e de quantidade mínima.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão. Seja
x1 = kg de iogurte produzidos por dia,
x2 = kg de queijo minas produzidos,
x3 = kg de queijo mussarela produzidos,
x4 = kg de queijo parmesão produzidos, ã
x5 = kg de queijo provolone produzidos
Essas variáveis vão nos dizer quantos quilos de cada produto fabricar.

Passo 3

Agora a função objetivo. A margem de contribuição unitária (R$/kg) de cada produto é dada na tabela:
– Iogurte: 0,80
– Queijo minas: 0,70
– Mussarela: 1,15
– Parmesão: 1,30
– Provolone: 0,70
Então, queremos
max Z = 0,80,x1 + 0,70,x2 + 1,15,x3 + 1,30,x4 + 0,70,x5

Passo 4

As restrições de recurso vêm da Tabela 2.1 e da mão de obra. Vamos traduzir cada insumo em desigualdade:
  1. Leite in natura (limite 1200 L):
0,70,x1 + 0,40,x2 + 0,40,x3 + 0,60,x4 + 0,60,x5 <= 1200
  1. Soro (limite 460 L):
0,16,x1 + 0,22,x2 + 0,32,x3 + 0,19,x4 + 0,23,x5 <= 460
  1. Gordura (limite 650 kg):
0,25,x1 + 0,33,x2 + 0,33,x3 + 0,40,x4 + 0,47,x5 <= 650
  1. Mão de obra (limite 170 h):
0,05,x1 + 0,12,x2 + 0,09,x3 + 0,04,x4 + 0,16,x5 <= 170

Passo 5

Ainda temos que garantir a produção mínima diária de cada item:
x1 >= 320, x2 >= 380, x3 >= 450, x4 >= 240, x5 >= 180
E, claro, as variáveis não podem ser negativas:
x1, x2, x3, x4, x5 >= 0

Resposta

Modelagem em Programação Linear:
Maximizar
Z = 0,80,x1 + 0,70,x2 + 1,15,x3 + 1,30,x4 + 0,70,x5
sujeito a
0,70,x1 + 0,40,x2 + 0,40,x3 + 0,60,x4 + 0,60,x5 <= 1200, 0,16,x1 + 0,22,x2 + 0,32,x3 + 0,19,x4 + 0,23,x5 <= 460, 0,25,x1 + 0,33,x2 + 0,33,x3 + 0,40,x4 + 0,47,x5 <= 650, 0,05,x1 + 0,12,x2 + 0,09,x3 + 0,04,x4 + 0,16,x5 <= 170, x1 >= 320,; x2 >= 380,; x3 >= 450,; x4 >= 240,; x5 >= 180, x1,x2,x3,x4,x5 >= 0

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