A empresa A&L do setor de construção civil decidiu produzir: blocos de concreto, telhas, lajes e muros pré-moldados. Em função das mudanças estratégicas decorrentes da concorrência de mercado, a empresa está redefinindo seu mix de produção. Para a fabricação de cada um dos quatro produtos, são necessários três tipos de matérias-primas: cimento, areia e aditivo plastificante. A Tabela a seguir apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para a fabricação de 1 un de cada produto. A quantidade de matéria-prima diária disponível é limitada ( 300 kg de cimento, 500 kg de areia e 100 litros de aditivo plastificante)
Produto | cimento (kg) | areia (kg) | aditivo (L) |
---|---|---|---|
bloco | 5 | 10 | 0,15 |
telha | 2 | 4 | 0,2 |
laje | 15 | 30 | 0,7 |
muro | 20 | 40 | 1 |
A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (120 horas-homem/dia). A empresa necessita de 0,03 hora-homem para a fabricação de 1 un de bloco, 0,04 hora-homem para a fabricação de 1 un de telha, 0,15 hora-homem para laje, 0,3 hora-homem para muro. Devido a razões contratuais, a empresa necessita produzir uma quantidade mínima diária de 100 blocos de concreto, 50 telhas, 20 lajes, 25 muros pré-moldados. A área comercial da empresa garante que existe mercado para absorver qualquer nível de produção, independentemente do produto). A Tabela a seguir apresenta o preço de venda e os custos por unidade de produto (
). A empresa tem como objetivo determinar a quantidade de cada produto a ser fabricado de forma a maximizar a margem de contribuição. Formule o problema de programação linear que maximiza o resultado esperado.
Produto | Preço de venda <br> (R$/un) | Custos variáveis <br> (R$/un) |
---|---|---|
bloco | 5,50 | 3,10 |
telha | 8,20 | 5,20 |
laje | 83,50 | 40,30 |
muro | 102,50 | 50,50 |
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma empresa que faz quatro produtos (bloco, telha, laje e muro) usando cimento, areia, aditivo e horas de trabalho. Tem também uma produção mínima diária pra cada item e um mercado que absorve tudo o que for produzido. O que a gente quer é montar um modelo de Programação Linear (aquele lance de definir variáveis, função objetivo e restrições) pra maximizar a margem de contribuição (preço de venda menos custo variável).
O que vamos precisar:
- Definir as variáveis de decisão (quantas unidades de cada produto produzir).
- Calcular as margens de contribuição.
- Montar a função objetivo (a ser maximizada).
- Listar as restrições de matéria-prima, mão de obra e produção mínima.
Passo 2
Antes de mais nada, Programação Linear é uma técnica pra decidir quantidades (nossas variáveis) de modo a maximizar ou minimizar algo (aqui, a margem total), sujeitas a limitações (restrições). Vamos chamar de
A partir daí a gente monta tudo.
Passo 3
Precisamos da margem de contribuição de cada produto, que é
Então:
- Bloco:
- Telha:
- Laje:
- Muro:
Passo 4
Agora a função objetivo (vamos chamar de
) é somar cada margem vezes sua quantidade:
Passo 5
Bora pras restrições. A cada produto consumimos matérias-primas e horas-homem, e tem limite diário:
- Cimento (300 kg):
- Areia (500 kg):
- Aditivo (100 L):
- Mão de obra (120 h):
Passo 6
Faltam as produções mínimas e a não-negatividade:
-
(blocos) -
(telhas) -
(lajes) -
(muros) - E claro
para todo .
Resposta
O modelo de Programação Linear fica:
Maximizar
sujeito a
E é isso!