A empresa A&L do setor de construção civil decidiu produzir: blocos de concreto, telhas, lajes e muros pré-moldados. Em função das mudanças estratégicas decorrentes da concorrência de mercado, a empresa está redefinindo seu mix de produção. Para a fabricação de cada um dos quatro produtos, são necessários três tipos de matérias-primas: cimento, areia e aditivo plastificante. A Tabela a seguir apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para a fabricação de 1 un de cada produto. A quantidade de matéria-prima diária disponível é limitada ( 300 kg de cimento, 500 kg de areia e 100 litros de aditivo plastificante)
Produto cimento (kg) areia (kg) aditivo (L)
bloco 5 10 0,15
telha 2 4 0,2
laje 15 30 0,7
muro 20 40 1
A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (120 horas-homem/dia). A empresa necessita de 0,03 hora-homem para a fabricação de 1 un de bloco, 0,04 hora-homem para a fabricação de 1 un de telha, 0,15 hora-homem para laje, 0,3 hora-homem para muro. Devido a razões contratuais, a empresa necessita produzir uma quantidade mínima diária de 100 blocos de concreto, 50 telhas, 20 lajes, 25 muros pré-moldados. A área comercial da empresa garante que existe mercado para absorver qualquer nível de produção, independentemente do produto). A Tabela a seguir apresenta o preço de venda e os custos por unidade de produto ( R ). A empresa tem como objetivo determinar a quantidade de cada produto a ser fabricado de forma a maximizar a margem de contribuição. Formule o problema de programação linear que maximiza o resultado esperado.
Produto Preço de venda <br> (R$/un) Custos variáveis <br> (R$/un)
bloco 5,50 3,10
telha 8,20 5,20
laje 83,50 40,30
muro 102,50 50,50

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma empresa que faz quatro produtos (bloco, telha, laje e muro) usando cimento, areia, aditivo e horas de trabalho. Tem também uma produção mínima diária pra cada item e um mercado que absorve tudo o que for produzido. O que a gente quer é montar um modelo de Programação Linear (aquele lance de definir variáveis, função objetivo e restrições) pra maximizar a margem de contribuição (preço de venda menos custo variável).
O que vamos precisar:
  • Definir as variáveis de decisão (quantas unidades de cada produto produzir).
  • Calcular as margens de contribuição.
  • Montar a função objetivo (a ser maximizada).
  • Listar as restrições de matéria-prima, mão de obra e produção mínima.

Passo 2

Antes de mais nada, Programação Linear é uma técnica pra decidir quantidades (nossas variáveis) de modo a maximizar ou minimizar algo (aqui, a margem total), sujeitas a limitações (restrições). Vamos chamar de
x1 = número de blocos, x2 = número de telhas, x3 = número de lajes, x4 = número de muros úúúú
A partir daí a gente monta tudo.

Passo 3

Precisamos da margem de contribuição de cada produto, que é
mar>=m = preço de venda - custo variávelçá
Então:
- Bloco: 5,50 - 3,10 = 2,40
- Telha: 8,20 - 5,20 = 3,00
- Laje: 83,50 - 40,30 = 43,20
- Muro: 102,50 - 50,50 = 52,00

Passo 4

Agora a função objetivo (vamos chamar de Z) é somar cada margem vezes sua quantidade:
max Z = 2,40,x1 + 3,00,x2 + 43,20,x3 + 52,00,x4

Passo 5

Bora pras restrições. A cada produto consumimos matérias-primas e horas-homem, e tem limite diário:
  1. Cimento (300 kg):
5,x1 + 2,x2 + 15,x3 + 20,x4 ;<=;300
  1. Areia (500 kg):
10,x1 + 4,x2 + 30,x3 + 40,x4 ;<=;500
  1. Aditivo (100 L):
0,15,x1 + 0,20,x2 + 0,70,x3 + 1,x4 ;<=;100
  1. Mão de obra (120 h):
0,03,x1 + 0,04,x2 + 0,15,x3 + 0,30,x4 ;<=;120

Passo 6

Faltam as produções mínimas e a não-negatividade:
  • x1 >= 100 (blocos)
  • x2 >= 50 (telhas)
  • x3 >= 20 (lajes)
  • x4 >= 25 (muros)
  • E claro xi >= 0 para todo i.

Resposta

O modelo de Programação Linear fica:
Maximizar
Z = 2,40,x1 + 3,00,x2 + 43,20,x3 + 52,00,x4
sujeito a
5,x1 + 2,x2 + 15,x3 + 20,x4 <= 300, 10,x1 + 4,x2 + 30,x3 + 40,x4 <= 500, 0.15,x1 + 0.20,x2 + 0.70,x3 + 1,x4 <= 100, 0.03,x1 + 0.04,x2 + 0.15,x3 + 0.30,x4 <= 120, x1 >= 100, x2 >= 50, x3 >= 20, x4 >= 25, x1,x2,x3,x4 >= 0
E é isso!

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