Uma empresa de auditoria identifica que, historicamente, 30% dos balanços analisados apresentam inconsistências. Se forem auditados 10 balanços de empresas aleatoriamente escolhidas, qual a probabilidade de exatamente 3 deles apresentarem inconsistências?
a) 0,1211
b) 0,2335
c) 0,2668
d) 0,3828

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa de auditoria que observa que, de forma histórica, 30% dos balanços analisados têm inconsistências. Agora, queremos saber qual a probabilidade de exatamente 3 desses balanços apresentarem inconsistências quando auditamos 10 balanços escolhidos aleatoriamente.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (no caso, 10 auditorias), cada uma com duas possíveis resultados (inconsistência ou não), e a probabilidade de sucesso (inconsistência) é constante em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da fórmula da Distribuição Binomial:
  • n: número de tentativas (auditaremos 10 balanços, então n = 10)
  • k: número de sucessos desejados (queremos exatamente 3 inconsistências, então k = 3)
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (30% ou 0,3)
  • q: probabilidade de insucesso em cada tentativa (1 - p = 0,7)

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial ( binom103):
binom103 = 10!3!(10-3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120
  1. Probabilidade dos sucessos ( p^k):
0,3^3 = 0,027
  1. Probabilidade dos insucessos ( q^n-k):
0,7^7 approx 0,0823543

Passo 5

Agora, vamos multiplicar esses valores na fórmula:
P(X = 3) = 120 times 0,027 times 0,0823543 approx 120 times 0,002224267 = 0,2669

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 dos 10 balanços auditados apresentarem inconsistências é aproximadamente 0,2668, que corresponde à opção c).

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