Uma empresa de café deseja calcular a massa total de café em uma região retangular de um silo de armazenamento. A densidade do café na região é dada pela função
, onde
e
são as coordenadas cartesianas na região. A região retangular tem vértices em
e
. Calcule a massa total de café na região.
Soluçāo:
Para calcular a massa total de café, precisamos integrar a função de densidade sobre a região retangular. Isso pode ser feito usando uma integral dupla:
onde dA é o elemento de área na região.
Cálculo da integral:
de 0 a
de 0 a
Resolvendo a integral interna:
de 0 a
de 0 a 3
Resolvendo a integral externa:
de 0 a
de 0 a 2
Resposta:
A massa total de café na região retangular é de
.
onde dA é o elemento de área na região.
Cálculo da integral:
Resolvendo a integral interna:
Resposta:
A massa total de café na região retangular é de
Passo 1
O enunciado dá a densidade de café em função das coordenadas na região retangular
com
e
. Para encontrar a massa total, usamos o conceito de integral dupla de densidade sobre a área, ou seja
Passo 2
Escrevemos a integral dupla como iterada, primeiro em
e depois em
:
Passo 3
Calculamos a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo no passo anterior, obtemos
Resposta
A massa total de café na região retangular é de
kg.