Uma empresa de café deseja calcular a massa total de café em uma região retangular de um silo de armazenamento. A densidade do café na região é dada pela função \rho(x, y)= 0,4+0,1 x+0,2 y \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, onde x e y são as coordenadas cartesianas na região. A região retangular tem vértices em (0,0),(2,0),(2,3) e (0,3). Calcule a massa total de café na região.

Soluçāo:

Para calcular a massa total de café, precisamos integrar a função de densidade sobre a região retangular. Isso pode ser feito usando uma integral dupla:
M=\iint \rho(x, y) d A
onde dA é o elemento de área na região.
Cálculo da integral:
M=\int de 0 a 2 \int de 0 a 3(0,4+0,1 x+0,2 y) d y d x
Resolvendo a integral interna:
\int de 0 a 3(0,4+0,1 x+0,2 y) d y=\left[0,4 y+0,1 x y+0,1 y^{2}\right] de 0 a 3
=1,2+0,3 x+0,9
Resolvendo a integral externa:
M=\int de 0 a 2(1,2+0,3 x+0,9) d x
=\left[1,2 x+0,15 x^{2}+0,9 x\right] de 0 a 2
=2,4+0,6+1,8
=4,8 \mathrm{~kg}
Resposta:
A massa total de café na região retangular é de 4,8 \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de café em função das coordenadas na região retangular
\rho(x,y)=0,4+0,1x+0,2y
com 0\le x\le2 e 0\le y\le3. Para encontrar a massa total, usamos o conceito de integral dupla de densidade sobre a área, ou seja
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada, primeiro em y e depois em x:
M=\int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=0}^{3}\bigl(0,4+0,1x+0,2y\bigr)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{3}\bigl(0,4+0,1x+0,2y\bigr)\,dy =\bigl[\,0,4y+0,1x\,y+0,1y^{2}\bigr]_{0}^{3} =0,4\cdot3+0,1x\cdot3+0,1\cdot3^{2} =1,2+0,3x+0,9 =2,1+0,3x.

Passo 4

Substituindo no passo anterior, obtemos
M=\int_{0}^{2}\bigl(2,1+0,3x\bigr)\,dx =\bigl[\,2,1x+0,15x^{2}\bigr]_{0}^{2} =2,1\cdot2+0,15\cdot2^{2} =4,2+0,6 =4,8.

Resposta

A massa total de café na região retangular é de 4,8 kg.

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