Exercício 3: Seja g(x)=\int_{0}^{x} t \operatorname{sen} t d t, \quad x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right). Mostre que g possui apenas um ponto de máximo local em \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=\int_{0}^{x} t\operatorname{sen} t\,dt,
no intervalo \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr), e pede para mostrar que g tem apenas um ponto de máximo local nesse intervalo.
Conteúdo necessário: o Teorema Fundamental do Cálculo para achar g'(x) e teste de derivada (primeira ou segunda) para identificar máximos e contar quantos há.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
g'(x)=x\operatorname{sen} x.
Os pontos críticos são as soluções de
g'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x\operatorname{sen} x=0.
No nosso intervalo \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr) temos x\neq0, logo resta
\operatorname{sen} x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pi.
Não há outras soluções de \operatorname{sen} x=0 nesse intervalo.

Passo 3

Para verificar que x=\pi é ponto de máximo, podemos usar o segundo teste:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\operatorname{sen} x\bigr) =\operatorname{sen} x + x\cos x.
Em x=\pi temos
g''(\pi)=\operatorname{sen}\pi + \pi\cos\pi=0 + \pi(-1)=-\pi<0,
portanto g tem um máximo local em x=\pi. Como não há outros pontos críticos no intervalo, esse é o único máximo local.

Resposta

O único ponto de máximo local de g em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr) é x=\pi.

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