Exercício 3: Seja
. Mostre que
possui apenas um ponto de máximo local em
.
Passo 1
O enunciado define a função
no intervalo
, e pede para mostrar que
tem apenas um ponto de máximo local nesse intervalo.
Conteúdo necessário: o Teorema Fundamental do Cálculo para achar e teste de derivada (primeira ou segunda) para identificar máximos e contar quantos há.
Conteúdo necessário: o Teorema Fundamental do Cálculo para achar
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Os pontos críticos são as soluções de
No nosso intervalo
temos
, logo resta
Não há outras soluções de
nesse intervalo.
Passo 3
Para verificar que
é ponto de máximo, podemos usar o segundo teste:
Em
temos
portanto
tem um máximo local em
. Como não há outros pontos críticos no intervalo, esse é o único máximo local.
Resposta
O único ponto de máximo local de
em
é
.