Exercício 1: Seja
uma função contínua e defina
para todo
. Mostre que
é derivável em
e
para todo
.
Passo 1
O enunciado define
com
contínua em
, e pede para mostrar que
é derivável e
O conteúdo principal é a regra de Leibniz para derivar integrais cujo integrando depende de
. Vamos usar o quociente de diferença
e a continuidade de
para passar ao limite.
Passo 2
Calculemos
. Por definição,
logo
Separe a integral de
a
e de
a
:
Subtraindo
, obtemos
Passo 3
Dividindo por
,
Como
é contínua, pelo Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à integral de média vale
Também
. Assim, ao passar
, o segundo termo tende a
.
Passo 4
Portanto o limite do quociente de diferença existe e é
mostrando que
é derivável em
com essa expressão para
.