Exercício 1: Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e defina H(x)= \int_{0}^{x} x f(t) d t para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que H é derivável em \mathbb{R} e
H^{\prime}(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t+x f(x)
para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
H(x)=\int_{0}^{x}x\,f(t)\,dt
com f contínua em \mathbb{R}, e pede para mostrar que H é derivável e
H'(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt + x\,f(x).
O conteúdo principal é a regra de Leibniz para derivar integrais cujo integrando depende de x. Vamos usar o quociente de diferença
\frac{H(x+h)-H(x)}{h}
e a continuidade de f para passar ao limite.

Passo 2

Calculemos H(x+h)-H(x). Por definição,
H(x+h)=\int_{0}^{x+h}(x+h)\,f(t)\,dt,
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H(x+h)-H(x) =\int_{0}^{x+h}(x+h)f(t)\,dt \;-\;\int_{0}^{x}x\,f(t)\,dt.
Separe a integral de 0 a x e de x a x+h:
\int_{0}^{x+h}(x+h)f(t)\,dt =(x+h)\int_{0}^{x}f(t)\,dt \;+\;(x+h)\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt.
Subtraindo \displaystyle \int_{0}^{x}x\,f(t)\,dt =x\int_{0}^{x}f(t)\,dt, obtemos
H(x+h)-H(x) = (x+h)\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt \;+\;h\int_{0}^{x}f(t)\,dt.

Passo 3

Dividindo por h,
\frac{H(x+h)-H(x)}{h} =\int_{0}^{x}f(t)\,dt \;+\;(x+h)\,\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt.
Como f é contínua, pelo Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à integral de média vale
\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt =f(x).
Também x+h\to x. Assim, ao passar h\to0, o segundo termo tende a x\,f(x).

Passo 4

Portanto o limite do quociente de diferença existe e é
H'(x) =\int_{0}^{x}f(t)\,dt + x\,f(x),
mostrando que H é derivável em \mathbb{R} com essa expressão para H'.

Resposta

H'(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt + x\,f(x).

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