Uma empresa está comparando o tempo médio de vida de dois tipos de baterias, A e B . Para as baterias do tipo A, a média amostral de tempo de vida é de 600 horas com variância populacional conhecida de 25 horas
, considerando uma amostra de 42 baterias. Para as baterias do tipo B, a média amostral é de 580 horas com variância populacional conhecida de 20 horas, também com uma amostra de 50 baterias. Teste, ao nível de significância de
, se o tempo médio de vida das baterias do tipo A é maior do que o das baterias do tipo B. O tempo de vida das baterias do tipo A é significativamente maior? (
)
Passo 1
O enunciado pede para testar, ao nível de significância de
, se o tempo médio de vida das baterias do tipo A é maior do que o das baterias do tipo B. Informações dadas:
(média amostral tipo A),
(variância populacional conhecida tipo A),
(tamanho da amostra A);
(média amostral tipo B),
(variância populacional conhecida tipo B),
(tamanho da amostra B);
nível de significância e valor crítico fornecido
.
A pergunta final: “O tempo de vida das baterias do tipo A é significativamente maior?”
nível de significância
A pergunta final: “O tempo de vida das baterias do tipo A é significativamente maior?”
Passo 2
Formulamos as hipóteses (teste unilateral à direita):
Aqui
e
são as médias populacionais verdadeiras dos tempos de vida das baterias A e B, respectivamente. Rejeitamos
se a evidência amostral mostrar que
é suficientemente maior que
, pelo critério dado por
.
Passo 3
Escolhemos o teste z para a diferença de médias com variâncias populacionais conhecidas. A estatística de teste é
Explicando a fórmula:
e
são as médias amostrais;
e
são as variâncias populacionais conhecidas;
e
são os tamanhos das amostras. O denominador é o erro padrão da diferença das médias — ele mede a variabilidade esperada de
quando
for verdadeira.
Passo 4
Calculamos o erro padrão passo a passo:
Arredondei o erro padrão para
apenas para facilitar as contas escritas; manterei mais casas ao calcular a estatística para precisão.
Passo 5
Calculamos a estatística
:
Arredondando,
. Isso significa que a diferença observada de
horas está a cerca de
desvios-padrão do que se esperaria sob
.
Passo 6
Comparação com o valor crítico: o teste é unilateral à direita com
. Como
rejeitamos
ao nível de
. Em palavras: há evidência estatística muito forte de que
. O valor-p é praticamente zero (muito menor que
), então o resultado é altamente significativo. No contexto: podemos concluir que o tempo médio de vida das baterias do tipo A é significativamente maior do que o das do tipo B.
Resposta
Sim. O tempo médio de vida das baterias do tipo A é significativamente maior (
).