Uma empresa está comparando o tempo médio de vida de dois tipos de baterias, A e B . Para as baterias do tipo A, a média amostral de tempo de vida é de 600 horas com variância populacional conhecida de 25 horas ^{2}, considerando uma amostra de 42 baterias. Para as baterias do tipo B, a média amostral é de 580 horas com variância populacional conhecida de 20 horas, também com uma amostra de 50 baterias. Teste, ao nível de significância de 5 \%, se o tempo médio de vida das baterias do tipo A é maior do que o das baterias do tipo B. O tempo de vida das baterias do tipo A é significativamente maior? ( Z_{\mathrm{tab}}=1,64 )

Passo 1

O enunciado pede para testar, ao nível de significância de 5\%, se o tempo médio de vida das baterias do tipo A é maior do que o das baterias do tipo B. Informações dadas:
\bar{x}_A=600 (média amostral tipo A),
\sigma_A^2=25 (variância populacional conhecida tipo A),
n_A=42 (tamanho da amostra A);
\bar{x}_B=580 (média amostral tipo B),
\sigma_B^2=20 (variância populacional conhecida tipo B),
n_B=50 (tamanho da amostra B);
nível de significância \alpha=5\% e valor crítico fornecido Z_{\text{tab}}=1,64.
A pergunta final: “O tempo de vida das baterias do tipo A é significativamente maior?”

Passo 2

Formulamos as hipóteses (teste unilateral à direita):
H_0: \mu_A \le \mu_B
H_a: \mu_A > \mu_B
Aqui \mu_A e \mu_B são as médias populacionais verdadeiras dos tempos de vida das baterias A e B, respectivamente. Rejeitamos H_0 se a evidência amostral mostrar que \mu_A é suficientemente maior que \mu_B, pelo critério dado por Z_{\text{tab}}.

Passo 3

Escolhemos o teste z para a diferença de médias com variâncias populacionais conhecidas. A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{x}_A-\bar{x}_B}{\sqrt{\dfrac{\sigma_A^2}{n_A}+\dfrac{\sigma_B^2}{n_B}}}.
Explicando a fórmula: \bar{x}_A e \bar{x}_B são as médias amostrais; \sigma_A^2 e \sigma_B^2 são as variâncias populacionais conhecidas; n_A e n_B são os tamanhos das amostras. O denominador é o erro padrão da diferença das médias — ele mede a variabilidade esperada de \bar{x}_A-\bar{x}_B quando H_0 for verdadeira.

Passo 4

Calculamos o erro padrão passo a passo:
\frac{\sigma_A^2}{n_A}=\frac{25}{42}\approx 0,595238095,
\frac{\sigma_B^2}{n_B}=\frac{20}{50}=0,4,
\text{soma} = 0,595238095+0,4=0,995238095,
\text{erro padrão}=\sqrt{0,995238095}\approx 0,997617.ã
Arredondei o erro padrão para 0,9976 apenas para facilitar as contas escritas; manterei mais casas ao calcular a estatística para precisão.

Passo 5

Calculamos a estatística Z:
Z=\frac{600-580}{0,997617}=\frac{20}{0,997617}\approx 20,048.
Arredondando, Z\approx 20{,}05. Isso significa que a diferença observada de 20 horas está a cerca de 20 desvios-padrão do que se esperaria sob H_0.

Passo 6

Comparação com o valor crítico: o teste é unilateral à direita com Z_{\text{tab}}=1{,}64. Como
Z_{\text{calc}}\approx 20{,}05 \gg 1{,}64,
rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Em palavras: há evidência estatística muito forte de que \mu_A>\mu_B. O valor-p é praticamente zero (muito menor que 0{,}05), então o resultado é altamente significativo. No contexto: podemos concluir que o tempo médio de vida das baterias do tipo A é significativamente maior do que o das do tipo B.

Resposta

Sim. O tempo médio de vida das baterias do tipo A é significativamente maior ( Z\approx 20{,}05 > 1{,}64 ).

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