Uma empresa de pesquisa de mercado deseja verificar se a proporção de consumidores que preferem o novo sabor de um produto é maior que 60 \%. Para isso, foi realizada uma pesquisa com 150 consumidores, onde 96 deles afirmaram preferir o novo sabor. Utilize um nível de significância de 5 \% para testar a hipótese de que a proporção de consumidores que preferem o novo sabor é maior que 60 \%. Qual é a conclusão do teste? ( Z_{\text {tab }}=1,64 )

Passo 1

O enunciado pede testar se a proporção de consumidores que preferem o novo sabor é maior que 60\%. Dados fornecidos:
  • tamanho da amostra: n=150;
  • número que preferem o novo sabor: x=96;
  • nível de significância: \alpha=5\%;
  • valor crítico tabelado para teste unilateral à direita: Z_{\text{tab}}=1,64.

Passo 2

Formulamos as hipóteses (uma cauda, à direita):
H_0: p = 0{,}60
H_a: p > 0{,}60
Em palavras: sob H_0 a proporção verdadeira é 60\%; queremos verificar evidência de que a proporção é maior que isso.

Passo 3

Escolhemos o teste z para proporções porque a amostra é relativamente grande e podemos usar a aproximação normal para a proporção amostral. O estatístico de teste é
Z=\frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
onde:
  • \hat p é a proporção observada na amostra;
  • p_0 é a proporção postulada em H_0 (aqui 0{,}60);
  • n é o tamanho da amostra;
  • o denominador é o erro padrão da proporção sob H_0 (usamos p_0 porque a variabilidade é calculada assumindo H_0 verdadeira).

Passo 4

Calculemos a proporção amostral \hat p:
\hat p=\frac{x}{n}=\frac{96}{150}=0{,}64.

Passo 5

Calculemos o erro padrão sob H_0:
p_0(1-p_0)=0{,}60\cdot0{,}40=0{,}24.
\frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0{,}24}{150}=0{,}0016.
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{0{,}0016}=0{,}04.

Passo 6

Agora o valor observado do estatístico Z:
Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0{,}64-0{,}60}{0{,}04}=\frac{0{,}04}{0{,}04}=1{,}00.

Passo 7

Regra de decisão: rejeitar H_0 se Z \ge Z_{\text{tab}}=1{,}64. Aqui Z_{\text{obs}}=1{,}00<1{,}64, logo não rejeitamos H_0.
Opcional — p-valor: para teste unilateral à direita o p-valor é P(Z\ge 1{,}00)\approx 0{,}1587, que é maior que \alpha=0{,}05, confirmando a decisão de não rejeitar H_0.

Passo 8

Interpretação no contexto: com base na amostra de 150 consumidores (dos quais 96 preferem o novo sabor), não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a proporção de consumidores que preferem o novo sabor é maior que 60\%. Força: o resultado não prova que a proporção seja menor — apenas que a evidência para ser maior que 60\% não foi forte o bastante nesta amostra.

Resposta

Não rejeita-se H_0. Conclusão: não há evidências suficientes, ao nível de 5\%, para afirmar que a proporção é maior que 60\%. ( Z_{\text{obs}}=1{,}00 < Z_{\text{tab}}=1{,}64; p-valor \approx 0{,}1587. )

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