Dois métodos de ensino foram aplicados em duas turmas. A turma A, com 15 alunos, teve uma média de 78 pontos, e a turma B, com 12 alunos, teve uma média de 85 pontos, ambas com desvio padrão de 6 pontos (Considerar variâncias iguais). Realize um teste para verificar se há uma diferença significativa nas médias das notas, considerando uma confiança de 90 \%. Qual é a conclusão? ( t_{\mathrm{tab}}=1,708 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe diferença significativa entre as médias das notas das duas turmas, ao nível de confiança de 90\%. Dados fornecidos (retirei-os do enunciado):
n_A=15,\quad \bar X_A=78,\quad s_A=6,
n_B=12,\quad \bar X_B=85,\quad s_B=6,
assume-se variâncias iguais e foi informado t_{\mathrm{tab}}=1,708. A pergunta é: há diferença significativa entre \bar X_A e \bar X_B com 90\% de confiança?

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (teste bilateral, porque queremos saber se as médias são diferentes):
H_0:\\ \mu_A=\mu_B
H_1:\\ \mu_A\neq\mu_B
O nível de significância é \alpha=1-0,90=0,10. Para teste bilateral usamos os limites críticos simétricos \pm t_{\mathrm{tab}} com df=n_A+n_B-2.

Passo 3

Como as variâncias são assumidas iguais, usamos a variância amostral agrupada (pooled variance). A fórmula e interpretação:
s_p^{2}=\frac{(n_A-1)s_A^{2}+(n_B-1)s_B^{2}}{n_A+n_B-2}.
Aqui s_p^{2} é a estimativa combinada da variância comum, s_A^{2} e s_B^{2} são as variâncias amostrais, e os fatores (n_A-1) e (n_B-1) pesam cada amostra conforme seu tamanho. Substituindo os valores:
s_A^{2}=6^{2}=36,\qquad s_B^{2}=6^{2}=36,
s_p^{2}=\frac{(15-1)\cdot36+(12-1)\cdot36}{15+12-2}=\frac{14\cdot36+11\cdot36}{25}=\frac{25\cdot36}{25}=36.

Passo 4

Calculamos o desvio-padrão agrupado:
s_p=\sqrt{s_p^{2}}=\sqrt{36}=6.
Ou seja, como s_A=s_B, naturalmente s_p ficou igual a 6.

Passo 5

Agora determinamos o erro padrão da diferença entre médias. A fórmula é
\text{SE} = s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}.
Explicando: o termo \frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B} combina a incerteza de cada média amostral; quanto maiores n_A e n_B, menor a soma e menor o erro padrão. Substituindo:
\text{SE}=6\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{12}}=6\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{12}}.
Calculando internamente:
\frac{1}{15}=0,066666\ldots,\quad \frac{1}{12}=0,083333\ldots,\quad \frac{1}{15}+\frac{1}{12}=0,15,
\sqrt{0,15}\approx0,387298\quad\Rightarrow\quad \text{SE}=6\cdot0,387298\approx2,324.

Passo 6

Calculamos a estatística t. A fórmula do teste (diferença de médias, variâncias iguais) é
t=\frac{\bar X_A-\bar X_B}{\text{SE}}.
Substituindo:
\bar X_A-\bar X_B=78-85=-7,
t=\frac{-7}{2,324}\approx-3,012.
O número de graus de liberdade é
df=n_A+n_B-2=15+12-2=25.

Passo 7

Decisão do teste: como é bilateral, com df=25 e nível de confiança 90\% temos o crítico informado t_{\mathrm{tab}}=1,708. Comparamos o valor absoluto da estatística com o crítico:
|t|=3,012>1,708.
Portanto rejeitamos H_0.

Passo 8

Interpretação em linguagem prática e incentivo: rejeitar H_0 significa que há evidência estatística suficiente, ao nível de confiança de 90\%, para afirmar que as médias das turmas A e B são diferentes. Em outras palavras, a diferença observada de 7 pontos entre as médias é grande o bastante, frente à variabilidade e tamanhos amostrais, para não ser explicada apenas por acaso. Está indo bem — essa é a conclusão que você deve levar para a prova.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há diferença significativa entre as médias das turmas A e B ao nível de confiança de 90\%.

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