Uma empresa competitiva recebe um preço
para cada unidade de seu produto e paga um preço
para cada unidade de seu único insumo variável. Ela também incorre em custos fixos de
. Sua produção usando
unidades do insumo variável é
.
Escreva a condição de primeira ordem para maximização do lucro e forneça uma interpretação econômica. Verifique se o lucro é realmente maximizado em um ponto que satisfaz a condição de primeira ordem.
Escreva a condição de primeira ordem para maximização do lucro e forneça uma interpretação econômica. Verifique se o lucro é realmente maximizado em um ponto que satisfaz a condição de primeira ordem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que opera em um mercado competitivo, ou seja, ela aceita o preço de mercado
para cada unidade vendida do seu produto. Essa empresa utiliza apenas um insumo variável, cujo preço por unidade é
, e também tem custos fixos
. A produção dessa empresa é dada pela função
, onde
é a quantidade de insumo utilizada.
Conteúdo da matéria: Maximização do lucro em empresas competitivas.
O que vamos precisar para resolver:
- Entender como calcular o lucro total.
- Aplicar a derivada para encontrar a condição de primeira ordem para maximização.
- Interpretar economicamente essa condição.
- Verificar se, de fato, a condição encontrada maximiza o lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o lucro total (
) da empresa. O lucro é a diferença entre a receita total e os custos totais.
Receita Total (RT): É o preço de venda (
) multiplicado pela quantidade produzida, que é
. Então,
Custo Total (CT): É a soma dos custos fixos (
) com os custos variáveis. O custo variável é o preço do insumo (
) multiplicado pela quantidade utilizada (
). Então,
Assim, o lucro total é:
Passo 3
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de
que torna o lucro
o maior possível. Isso é feito encontrando a derivada da função lucro em relação a
e igualando-a a zero. Essa é a condição de primeira ordem.
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Calculando cada termo:
- A derivada de
em relação a é:
- A derivada de
em relação a é , pois é um custo fixo. - A derivada de
em relação a é .
Portanto,
A condição de primeira ordem para maximizar o lucro é:
Passo 4
Agora, vamos interpretar economicamente essa condição. A condição
significa que, no ponto de maximização do lucro, a receita marginal (a receita adicional obtida pela venda de uma unidade extra) é igual ao custo marginal (o custo adicional para produzir uma unidade extra).
Receita Marginal (RM): É a derivada da receita total, que já calculamos como
.
Custo Marginal (CM): É a derivada dos custos totais, que é
.
Então, a condição
afirma que a empresa maximiza seu lucro quando a receita marginal iguala o custo marginal.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse ponto realmente corresponde a uma maximização do lucro. Para isso, precisamos analisar a segunda derivada da função lucro.
Calculando a segunda derivada:
A segunda derivada
é sempre negativa para
, já que
e
são positivos. Uma segunda derivada negativa indica que a função lucro tem um ponto de máximo nesse valor de
.
Resposta
A condição de primeira ordem para a maximização do lucro é
. Isso significa que a empresa deve produzir até o ponto em que a receita marginal iguala o custo marginal. Além disso, como a segunda derivada da função lucro é negativa, esse ponto realmente corresponde a um máximo do lucro.