Uma empresa competitiva recebe um preço p para cada unidade de seu produto e paga um preço w para cada unidade de seu único insumo variável. Ela também incorre em custos fixos de F. Sua produção usando x unidades do insumo variável é f(x)=raizx.
Escreva a condição de primeira ordem para maximização do lucro e forneça uma interpretação econômica. Verifique se o lucro é realmente maximizado em um ponto que satisfaz a condição de primeira ordem.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma empresa que opera em um mercado competitivo, ou seja, ela aceita o preço de mercado p para cada unidade vendida do seu produto. Essa empresa utiliza apenas um insumo variável, cujo preço por unidade é w, e também tem custos fixos F. A produção dessa empresa é dada pela função f(x) = raizx, onde x é a quantidade de insumo utilizada.
Conteúdo da matéria: Maximização do lucro em empresas competitivas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender como calcular o lucro total.
  • Aplicar a derivada para encontrar a condição de primeira ordem para maximização.
  • Interpretar economicamente essa condição.
  • Verificar se, de fato, a condição encontrada maximiza o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o lucro total ( pi) da empresa. O lucro é a diferença entre a receita total e os custos totais.
Receita Total (RT): É o preço de venda ( p) multiplicado pela quantidade produzida, que é f(x) = raizx. Então,
RT = p cdot f(x) = p cdot raizx
Custo Total (CT): É a soma dos custos fixos ( F) com os custos variáveis. O custo variável é o preço do insumo ( w) multiplicado pela quantidade utilizada ( x). Então,
CT = F + w cdot x
Assim, o lucro total é:
pi(x) = RT - CT = p cdot raizx - (F + w cdot x)

Passo 3

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de x que torna o lucro pi(x) o maior possível. Isso é feito encontrando a derivada da função lucro em relação a x e igualando-a a zero. Essa é a condição de primeira ordem.
Vamos calcular a derivada de pi(x) em relação a x:
dpidx = ddx ( p cdot raizx - F - w cdot x )
Calculando cada termo:
  • A derivada de p cdot raizx em relação a x é:
p cdot 12 x^-1/2 = p2raizx
  • A derivada de F em relação a x é 0, pois F é um custo fixo.
  • A derivada de w cdot x em relação a x é w.
Portanto,
dpidx = p2raizx - w
A condição de primeira ordem para maximizar o lucro é:
dpidx = 0 Rightarrow p2raizx - w = 0

Passo 4

Agora, vamos interpretar economicamente essa condição. A condição p2raizx - w = 0 significa que, no ponto de maximização do lucro, a receita marginal (a receita adicional obtida pela venda de uma unidade extra) é igual ao custo marginal (o custo adicional para produzir uma unidade extra).
Receita Marginal (RM): É a derivada da receita total, que já calculamos como p2raizx.
Custo Marginal (CM): É a derivada dos custos totais, que é w.
Então, a condição p2raizx = w afirma que a empresa maximiza seu lucro quando a receita marginal iguala o custo marginal.

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse ponto realmente corresponde a uma maximização do lucro. Para isso, precisamos analisar a segunda derivada da função lucro.
Calculando a segunda derivada:
d^2pidx^2 = ddx ( p2raizx - w ) = ddx ( p2 x^-1/2 ) = -p4 x^-3/2
A segunda derivada d^2pidx^2 = -p4 x^-3/2 é sempre negativa para x > 0, já que p e x são positivos. Uma segunda derivada negativa indica que a função lucro tem um ponto de máximo nesse valor de x.

Resposta

A condição de primeira ordem para a maximização do lucro é p2raizx = w. Isso significa que a empresa deve produzir até o ponto em que a receita marginal iguala o custo marginal. Além disso, como a segunda derivada da função lucro é negativa, esse ponto realmente corresponde a um máximo do lucro.

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