Uma firma produz com bem q utilizando a seguinte função de produção: Q(L)=12 L^2-120 L^3, em que L denota o número de trabalhadores, com L in[0,200].
Seja L^* o tamanho da força de trabalho que maximiza a produção por trabalhador, Q(L) / L. Encontre L^* e note que Q^prime(L^*)=Q(L^*) / L^*. Isso é uma coincidência?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma função de produção , onde representa o número de trabalhadores, variando de 0 a 200. Queremos encontrar , que é o número de trabalhadores que maximiza a produção por trabalhador, ou seja, . Além disso, vamos verificar se é uma coincidência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da produção por trabalhador:
Q(L)L = 12L^2 - 120L^3L = 12L - 120L^2
Agora, temos uma função mais simples para trabalhar: .

Passo 3

Para encontrar o valor de ddL(12L - 120L^2) = 12 - 110L que maximiza , precisamos derivar essa função em relação a e encontrar onde a derivada é igual a zero. A derivada de em relação a é:

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
12 - 110L = 0
Resolvendo para 110L = 12 implies L = 120 :
Então, trabalhadores.

Passo 5

Agora, vamos verificar se Q'(L) = ddL(12L^2 - 120L^3) = 24L - 320L^2 .
Primeiro, calculamos Q'(120) = 24(120) - 320(120)^2 = 2880 - 320(14400) = 2880 - 2160 = 720 :
Q(120) = 12(120)^2 - 120(120)^3 = 12(14400) - 120(1728000) = 172800 - 86400 = 86400
Substituindo Q(120)120 = 86400120 = 720 :
Agora, calculamos :
Portanto:

Resposta

trabalhadores maximiza a produção por trabalhador. Além disso, . Isso não é uma coincidência; é uma propriedade que ocorre quando a derivada da função de produção total iguala a produção por trabalhador no ponto de máximo.

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