Uma firma produz com bem
utilizando a seguinte função de produção:
, em que
denota o número de trabalhadores, com
.
Seja
o tamanho da força de trabalho que maximiza a produção por trabalhador,
. Encontre
e note que
. Isso é uma coincidência?
Seja
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma função de produção
, onde
representa o número de trabalhadores, variando de 0 a 200. Queremos encontrar
, que é o número de trabalhadores que maximiza a produção por trabalhador, ou seja,
. Além disso, vamos verificar se
é uma coincidência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da produção por trabalhador:
Agora, temos uma função mais simples para trabalhar:
.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos derivar essa função em relação a
e encontrar onde a derivada é igual a zero. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
Resolvendo para
:
Então,
trabalhadores.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
.
Primeiro, calculamos
:
Substituindo
:
Agora, calculamos
:
Portanto: