Uma empresa competitiva recebe um preço p para cada unidade de seu produto e paga um preço w para cada unidade de seu único insumo variável. Ela também incorre em custos fixos de F. Sua produção usando x unidades do insumo variável é f(x)=raizx.
Determine a receita, custo e lucro da empresa como funções de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa competitiva que vende um produto por um preço e usa um insumo que custa por unidade. A empresa também tem custos fixos de . A produção da empresa com unidades desse insumo é dada por . Nossa missão aqui é encontrar três coisas: receita, custo e lucro da empresa em função de . Para isso, vamos usar conceitos básicos de economia, como receita total, custo total e lucro, além de umas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na Receita Total (RT). Receita é quanto a empresa ganha vendendo seus produtos. Como o preço de cada unidade é RT(x) = p times f(x) = p times raizx e a empresa produz unidades, a receita total é o preço multiplicado pela quantidade vendida. Então, a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos para o Custo Total (CT). O custo total inclui dois tipos de custos: os custos fixos (F), que não mudam com a quantidade produzida, e os custos variáveis, que dependem de quanto a empresa produz. Aqui, o único insumo variável custa CT(x) = w times x + F por unidade e a empresa usa unidades desse insumo. Então, o custo variável é . Juntando tudo, temos:

Passo 4

Por fim, o Lucro (L) é o que sobra da receita depois de pagar todos os custos. Ou seja, lucro é igual à receita total menos o custo total. Usando as fórmulas que encontramos:
L(x) = RT(x) - CT(x) = p times raizx - (w times x + F)

Resposta

As funções de receita, custo e lucro da empresa em função de RT(x) = p times raizx são:
CT(x) = w times x + F
L(x) = p times raizx - w times x - F

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