Se f é contínua em [0, pi / 2], mostre que
integral0^pi / 2 f(cos (x)) d x=pi2 integral0^pi / 2 f(sen(x)) d x

Passo 1

Vamos testar a igualdade com uma função simples para ver se ela faz sentido: seja f(t)=1 para todo t.
Calculemos o lado esquerdo:
integral0^pi/2f(cos x),dx=integral0^pi/21,dx=pi2

Passo 2

Calculemos o lado direito:

Passo 3

Como pi2neqpi^24, a igualdade não se sustenta nem para esta escolha de f, logo não é verdadeira em geral.
Portanto não há como provar a identidade dada porque ela é falsa já em um caso simples.

Resposta

A igualdade falha mesmo para f(t)=1, pois leva a tfracpi2=tfracpi^24, impossível. Assim, o enunciado está incorreto.

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