Uma empresa de construção civil deseja comparar a resistência média de dois tipos diferentes de concreto (Concreto A e Concreto B). Foram coletadas 50 amostras de cada tipo, e os resultados (em MPa) obtidos são apresentados na tabela abaixo. A empresa quer saber, ao nível de significância de 5 \%, se há evidência de que o Concreto B tem resistência média maior do que o Concreto A .
Concreto A Concreto B
Diferença
(B-A)
Média 29,8 \mathrm{MPa} 31,1 \mathrm{MPa} 29,8
Desvio padrão 3,2 \mathrm{MPa} 3,5 \mathrm{MPa} 3,3

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras independentes de tamanho n_A=n_B=50, com
\bar X_A=29,8, s_A=3,2 e \bar X_B=31,1, s_B=3,5.
O que queremos é testar, a 5\% de significância,
H_0:\mu_B \le \mu_A \quad\text{versus}\quad H_1:\mu_B > \mu_A,
usando o teste para diferença de duas médias com variâncias desconhecidas (Welch).

Passo 2

O estatístico de teste é
t \;=\;\frac{\bar X_B-\bar X_A}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B}}}.
Sob H_0 ele segue aproximadamente uma t de Student com graus de liberdade dados por
\mathrm{df} =\frac{\bigl(\tfrac{s_A^2}{n_A}+\tfrac{s_B^2}{n_B}\bigr)^2} {\tfrac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A-1}+\tfrac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B-1}}.

Passo 3

Calcular o erro padrão da diferença:
\frac{s_A^2}{n_A} = \frac{3,2^2}{50} = 0{,}2048, \qquad \frac{s_B^2}{n_B} = \frac{3,5^2}{50} = 0{,}2450,
\mathrm{SE} = \sqrt{0{,}2048 + 0{,}2450} = \sqrt{0{,}4498} \approx 0{,}671.

Passo 4

Calcular o valor do estatístico t:
\bar X_B - \bar X_A = 31,1 - 29,8 = 1,3,
t = \frac{1,3}{0,671} \approx 1,94.
Os graus de liberdade pela fórmula de Welch ficam perto de \mathrm{df}\approx97.

Passo 5

Para \alpha=0,05 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
t_{0,05,\,97}\approx1,66.
Como t=1,94 > 1,66, caímos na região de rejeição de H_0.

Resposta

Rejeitamos H_0 ao nível de 5\% e concluímos que há evidência estatística de que o Concreto B tem resistência média maior que o Concreto A.

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