Seja X uma variável aleatória com distribuição Uniforme(10,20) onde a=10 e b=20 com função densidade de probabilidade dada por: ( 2,5 pontos)
f x(x)=\frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b .
Calcule:
E\left[2 X^{2}+3 X-1\right]

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição Uniforme (a,b), onde a=10 e b=20, e pede para calcular
E\bigl[2X^{2}+3X-1\bigr].
O conteúdo envolve usar a propriedade de linearidade da esperança e as fórmulas dos momentos de X quando X\sim\mathrm{Uniforme}(a,b).

Passo 2

Para X\sim\mathrm{Uniforme}(a,b) valem as fórmulas conhecidas:
E[X] = \frac{a + b}{2},
E[X^{2}] = \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}.
Além disso, como a esperança é linear,
E\bigl[2X^{2}+3X-1\bigr] = 2\,E[X^{2}] + 3\,E[X] - 1.

Passo 3

Aplicando a=10 e b=20:
E[X] = \frac{10 + 20}{2} = 15,
E[X^{2}] = \frac{10^{2} + 10\cdot20 + 20^{2}}{3} = \frac{100 + 200 + 400}{3} = \frac{700}{3}.

Passo 4

Substituindo em
E\bigl[2X^{2}+3X-1\bigr] = 2\cdot\frac{700}{3} + 3\cdot15 - 1 = \frac{1400}{3} + 45 - 1 = \frac{1400}{3} + 44 = \frac{1400 + 132}{3} = \frac{1532}{3}.

Resposta

E\bigl[2X^{2}+3X-1\bigr] = \frac{1532}{3}.

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