( 2,0 pontos) As variáveis aleatórias contínuas X e Y têm distribuição conjunta dada por: f(x, y)=c x(x-y), 0<x<2,-x<y<x e igual a zero caso contrario.
(a) Determine o valor de c para que f(x, y) seja uma funçāo de densidade de probabilidade conjunta.
(b) Encontre as densidades marginais de X e de Y , e verifique se X e Y sào independentes?

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=c\,x\,(x-y),\quad 0<x<2,\;-x<y<x,
e zero caso contrário. Precisamos achar (a) o valor de c para normalizar a densidade e (b) as densidades marginais de X e de Y, verificando se são independentes.

Passo 2

Para determinar c usamos a condição de normalização
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-x}^{x}c\,x\,(x-y)\,dy\,dx =1.
Primeiro calculemos a integral interna:
\int_{y=-x}^{x}x\,(x-y)\,dy =x\int_{-x}^{x}(x-y)\,dy =x\Bigl[x\cdot(2x)-\underbrace{\int_{-x}^{x}y\,dy}_{0}\Bigr] =2x^3.
Logo
\int_{0}^{2}c\cdot 2x^3\,dx =2c\int_{0}^{2}x^3\,dx =2c\cdot\frac{2^4}{4} =2c\cdot4 =8c.
Daí 8c=1 e, portanto,
c=\frac{1}{8}.

Passo 3

A densidade marginal de X é
f_X(x) =\int_{y=-x}^{x}f(x,y)\,dy =\int_{-x}^{x}\frac{1}{8}x(x-y)\,dy =\frac{1}{8}\,2x^3 =\frac{x^3}{4}, \quad 0<x<2,
e f_X(x)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

A densidade marginal de Y é
f_Y(y) =\int_{x=|y|}^{2}\frac{1}{8}\,x\,(x-y)\,dx, \quad -2<y<2,
pois em -x<y<x temos x>|y|. Calculando:
\int_{|y|}^{2}(x^2 -yx)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-y\,\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{x=|y|}^{2} =\frac{8-|y|^3}{3}-\frac{y\,(4-|y|^2)}{2}.
Logo
f_Y(y) =\frac{1}{8}\Bigl(\frac{8-|y|^3}{3}-\frac{y\,(4-|y|^2)}{2}\Bigr), \quad -2<y<2,
e f_Y(y)=0 caso contrário.

Passo 5

Para verificar independência, comparamos f(x,y) com f_X(x)\,f_Y(y).
Como
f(x,y)=\frac{1}{8}x(x-y) \quad\text{e}\quad f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{x^3}{4}\;\times\;\frac{1}{8}\Bigl(\frac{8-|y|^3}{3}-\frac{y(4-|y|^2)}{2}\Bigr),
essas expressões não se igualam por fatorar em x e y separadamente. Portanto X e Y não são independentes.

Resposta

a) \displaystyle c=\tfrac18.
b) \displaystyle f_X(x)=\tfrac{x^3}{4} para 0<x<2, e
f_Y(y) =\frac{1}{8}\Bigl(\frac{8-|y|^3}{3}-\frac{y\,(4-|y|^2)}{2}\Bigr) \quad\text{para }-2<y<2.
Como f(x,y)\neq f_X(x)\,f_Y(y), X e Y não são independentes.

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