Uma empresa de cosméticos necessita de latas cilíndricas fechadas com raio de 4 cm e altura de 20 cm para embalar seus produtos. Porém, devido as variações na fabricação, estas embalagens apresentam pequenas oscilações em suas medidas. Diante disso:
Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.

Passo 1

O enunciado pede comparar o efeito de pequenas variações de raio e altura no volume de uma lata cilíndrica com raio r=4 cm e altura h=20 cm. O conteúdo é cálculo de diferenciais e derivadas parciais para medir essa sensibilidade.

Passo 2

O volume de um cilindro é dado por
V(r,h)=pi r^2 h
Para analisar pequenas variações usamos a teoria do diferencial total.

Passo 3

Pela definição de diferencial total temos
dV=partial Vpartial r,dr+partial Vpartial h,dh

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial r=2pi r h, partial Vpartial h=pi r^2
Em r=4 cm e h=20 cm:
partial Vpartial r=2picdot4cdot20=160pi, partial Vpartial h=picdot4^2=16pi

Passo 5

Como 160pi é dez vezes maior que 16pi, uma mesma variação absoluta em r causa efeito 10 vezes maior no volume do que em h. Isso fica claro também na diferencial relativa
dVV=2drr+dhh
onde o termo associado a dr tem peso 2, enquanto dh tem peso 1.

Resposta

O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, pois pequenas mudanças em r afetam muito mais o volume do que mudanças equivalentes em h.

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