Uma empresa de cosméticos necessita de latas cilíndricas fechadas com raio de 4 cm e altura de 20 cm para embalar seus produtos. Porém, devido as variações na fabricação, estas embalagens apresentam pequenas oscilações em suas medidas. Diante disso:
Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede comparar o efeito de pequenas variações de raio e altura no volume de uma lata cilíndrica com raio
cm e altura
cm. O conteúdo é cálculo de diferenciais e derivadas parciais para medir essa sensibilidade.
Passo 2
O volume de um cilindro é dado por
Para analisar pequenas variações usamos a teoria do diferencial total.
Passo 3
Pela definição de diferencial total temos
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Em
cm e
cm:
Passo 5
Como
é dez vezes maior que
, uma mesma variação absoluta em
causa efeito 10 vezes maior no volume do que em
. Isso fica claro também na diferencial relativa
onde o termo associado a
tem peso 2, enquanto
tem peso 1.
Resposta
O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, pois pequenas mudanças em
afetam muito mais o volume do que mudanças equivalentes em
.