summ=1^infty (-3)^m+1pi^m

Passo 1

Enunciado: precisamos calcular a série infinita summ=1^infty (-3)^m+1pi^m. O conteúdo aqui é soma de série geométrica, e vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita quando |r|<1.

Passo 2

Note que (-3)^m+1=-3cdot(-3)^m. Assim o termo geral fica
(-3)^m+1pi^m=-3cdot(-3)^mpi^m=-3cdotl(-3pir)^m

Passo 3

Logo podemos reescrever a soma como
summ=1^infty(-3)^m+1pi^m=-3summ=1^inftyl(-3pir)^m

Passo 4

Em uma série geométrica summ=1^inftyr^m, desde que |r|<1, temos
summ=1^inftyr^m=r1-r
Aqui o nosso r=tfrac-3pi, e de fato |-3/pi|<1 porque 3.

Passo 5

Calculando
summ=1^inftyl(tfrac-3pir)^m=-3/pi1-(-3/pi)=-3/pi1+3/pi=-3pi+3

Passo 6

Finalmente, multiplicando o fator externo -3, obtemos
-3cdot-3pi+3=9pi+3

Resposta

9pi+3

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