1. Uma empresa de cosméticos necessita de latas cilíndricas fechadas com raio de 4 cm e altura de 20 cm para embalar seus produtos. Porém, devido a variações na fabricação, estas embalagens apresentam pequenas oscilações em suas medidas. Diante disso:
    (a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos diferenciais.
    (b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por cm^2, obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se embalagens com altura 2 % maior e raio 3 % menor em relação à original.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sensibilidade do volume de um cilindro fechado de raio 4 cm e altura 20 cm a pequenas variações em r e h (parte a) e, em seguida, estimar a variação de custo quando h aumenta 2 % e r diminui 3 % (parte b). Vamos usar diferenciais parciais e aproximação linear.

Passo 2

O volume de um cilindro é dado por
V(r,h)=pi r^2h
Para estudar variações, calculamos as derivadas parciais:
partial Vpartial r=2pi r h, partial Vpartial h=pi r^2

Passo 3

A variação aproximada do volume é
dV=partial Vpartial r,dr + partial Vpartial h,dh
Em termos relativos,
dVV=2drr+1dhh
Isso mostra que, em porcentagem, o volume reage duas vezes mais a variações relativas no raio do que na altura.

Passo 4

Como a sensibilidade relativa ao raio é o dobro da altura, o engenheiro deve se preocupar mais com variações em r do que em h.

Passo 5

Para a parte (b), a área total de superfície do cilindro fechado é
S(r,h)=2pi r^2 +2pi r h
Calculamos as derivadas parciais:
partial Spartial r=4pi r+2pi h, partial Spartial h=2pi r

Passo 6

Agora usamos dr=–0,03·4=–0,12 cm e dh=+0,02·20=+0,4 cm. Em r=4 cm e h=20 cm temos:
partial Spartial r=56pi, partial Spartial h=8pi
Logo,
dS=56pi(-0,12)+8pi(0,4)=-3,52piapprox -11,05 cm^2

Passo 7

Como o custo é de 0,20 R$ por cm², a variação de custo é
por cm², a variação de custo é
Ou seja, há uma economia de cerca de R$ 2,21.

Resposta

O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, e o custo diminui em aproximadamente R$ 2,21.

Exercícios relacionados