- Uma empresa de cosméticos necessita de latas cilíndricas fechadas com raio de 4 cm e altura de 20 cm para embalar seus produtos. Porém, devido a variações na fabricação, estas embalagens apresentam pequenas oscilações em suas medidas. Diante disso:
(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos diferenciais.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por
, obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se embalagens com altura
maior e raio
menor em relação à original.
(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos diferenciais.
(b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sensibilidade do volume de um cilindro fechado de raio 4 cm e altura 20 cm a pequenas variações em r e h (parte a) e, em seguida, estimar a variação de custo quando h aumenta 2 % e r diminui 3 % (parte b). Vamos usar diferenciais parciais e aproximação linear.
Passo 2
O volume de um cilindro é dado por
Para estudar variações, calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
A variação aproximada do volume é
Em termos relativos,
Isso mostra que, em porcentagem, o volume reage duas vezes mais a variações relativas no raio do que na altura.
Passo 4
Como a sensibilidade relativa ao raio é o dobro da altura, o engenheiro deve se preocupar mais com variações em r do que em h.
Passo 5
Para a parte (b), a área total de superfície do cilindro fechado é
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 6
Agora usamos dr=–0,03·4=–0,12 cm e dh=+0,02·20=+0,4 cm. Em r=4 cm e h=20 cm temos:
Logo,
Passo 7
Como o custo é de 0,20 R$ por cm², a variação de custo é
Ou seja, há uma economia de cerca de R$ 2,21.
Resposta
O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, e o custo diminui em aproximadamente R$ 2,21.