Considere a sequência (3^nn!)n in N.
Mostre que a sequência é limitada;

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a sequência an = 3^nn! é limitada. O conteúdo envolve análise de monotonicidade de sequências usando o teste da razão, além de comparar termos iniciais para obter uma cotação uniforme.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento de an.
an+1an = 3^n+1(n+1)!3^nn! = 3^n+13^n cdot n!(n+1)! = 3n+1

Passo 3

Como an+1an = 3n+1, para todo n >= 3 temos
an+1an <= 1,
o que mostra que a partir de n=3 a sequência é decrescente. Logo, para n >= 3, vale
an <= a3 = 3^33! = 276 = 92

Passo 4

Para os casos iniciais n=0,1,2 temos:
a0 = 3^00! = 1, a1 = 3^11! = 3, a2 = 3^22! = 92
Todos esses valores também são <= tfrac92. Portanto, para todo n in N, an <= tfrac92.

Resposta

A sequência é limitada superiormente por tfrac92.

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