Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Uma sequência monótona é convergente;
(a) ( ) Uma sequência monótona é convergente;
Passo 1
O enunciado pergunta se toda sequência monótona é necessariamente convergente, ou seja, se basta que ela seja crescente ou decrescente para garantir existência de limite finito.
Passo 2
Uma sequência $ (a_n)_{n=1}^\infty $ é dita monótona crescente se
para todo
, ou monótona decrescente se
. O teorema clássico (Teorema da Convergência Monótona) afirma que toda sequência que é ao mesmo tempo monótona e limitada converge. Aqui, contudo, a hipótese de limitada não aparece no enunciado.
Passo 3
Como não há condição de limitada, podemos buscar um contraexemplo: basta dar uma sequência monótona que não seja limitada e mostrar que ela diverge. Considere
. Essa sequência é claramente monótona crescente, pois
. Mas
, logo não converge para número finito.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é
, que é monótona crescente mas diverge para
.