Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(a) ( ) Uma sequência monótona é convergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se toda sequência monótona é necessariamente convergente, ou seja, se basta que ela seja crescente ou decrescente para garantir existência de limite finito.

Passo 2

Uma sequência $ (a_n)_{n=1}^\infty $ é dita monótona crescente se (an)n=1^infty para todo an+1>= an, ou monótona decrescente se n. O teorema clássico (Teorema da Convergência Monótona) afirma que toda sequência que é ao mesmo tempo monótona e limitada converge. Aqui, contudo, a hipótese de limitada não aparece no enunciado.

Passo 3

Como não há condição de limitada, podemos buscar um contraexemplo: basta dar uma sequência monótona que não seja limitada e mostrar que ela diverge. Considere an = n. Essa sequência é claramente monótona crescente, pois an+1=n+1>= n=an. Mas anto +infty, logo não converge para número finito.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é an=n, que é monótona crescente mas diverge para +infty.

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