Exercício 2.45. Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
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Passo 1
Começamos participando que o enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem de f(x,y,z)=e{x2 y z^3}(y+z x^2) e verificar o Teorema de Schwarz. O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis, e vamos usar principalmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Escrevendo f(x,y,z)=e^{g(x,y,z)}·h(x,y,z) com g(x,y,z)=x^2 y z^3 e h(x,y,z)=y+z x^2, aplicamos regra do produto e cadeia:
Passo 3
Agora calculamos f_{xy} e f_{yx} e mostramos que coincidem. Para f_{xy}, derivando f_x em relação a y:
Para f_{yx}, derivando f_y em relação a x:
Logo, f_{xy}=f_{yx}.
Passo 4
Em seguida fazemos f_{xz} e f_{zx}. Para f_{xz}, derivamos f_x em relação a z:
Para f_{zx}, derivamos f_z em relação a x:
Portanto f_{xz}=f_{zx}.
Passo 5
Finalmente calculamos f_{yz} e f_{zy}. Para f_{yz}, derivando f_y em relação a z:
Para f_{zy}, derivando f_z em relação a y:
Logo f_{yz}=f_{zy}, o que confirma o Teorema de Schwarz para todas as derivadas mistas de segunda ordem de f.
Resposta
As derivadas mistas de segunda ordem são:
f_{xy}=f_{yx}=e{x2 y z3}\bigl(2x3 y^2 z^6 + 2x^5 y z^7 + 4x^3 z^4 + 4x y z^3\bigr),
f_{xz}=f_{zx}=e{x2 y z3}\bigl(6x3 y^3 z^5 + 6x^5 y^2 z^6 + 14x^3 y z^3 + 6x y^2 z^2 + 2x\bigr),
f_{yz}=f_{zy}=e{x2 y z3}\bigl(3x4 y^2 z^5 + 3x^6 y z^6 + 6x^2 y z^2 + 4x^4 z^3\bigr).
Em todos os casos as derivadas mistas coincidem, logo o Teorema de Schwarz vale.
f_{xy}=f_{yx}=e{x2 y z3}\bigl(2x3 y^2 z^6 + 2x^5 y z^7 + 4x^3 z^4 + 4x y z^3\bigr),
f_{xz}=f_{zx}=e{x2 y z3}\bigl(6x3 y^3 z^5 + 6x^5 y^2 z^6 + 14x^3 y z^3 + 6x y^2 z^2 + 2x\bigr),
f_{yz}=f_{zy}=e{x2 y z3}\bigl(3x4 y^2 z^5 + 3x^6 y z^6 + 6x^2 y z^2 + 4x^4 z^3\bigr).
Em todos os casos as derivadas mistas coincidem, logo o Teorema de Schwarz vale.