Exercício 2.45. Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
f(x, y, z)=e^x^2 y z^3(y+z x^2).

Passo 1

Começamos participando que o enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem de f(x,y,z)=e{x2 y z^3}(y+z x^2) e verificar o Teorema de Schwarz. O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis, e vamos usar principalmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Escrevendo f(x,y,z)=e^{g(x,y,z)}·h(x,y,z) com g(x,y,z)=x^2 y z^3 e h(x,y,z)=y+z x^2, aplicamos regra do produto e cadeia:
fx = e^ggx,h + e^ghx = e^x^2 y z^3l(2x y z^3(y+z x^2) + 2zxr),
fy = e^x^2 y z^3l(x^2 z^3(y+z x^2) + 1r),
fz = e^x^2 y z^3l(3x^2 y z^2(y+z x^2) + x^2r)

Passo 3

Agora calculamos f_{xy} e f_{yx} e mostramos que coincidem. Para f_{xy}, derivando f_x em relação a y:
fxy = partialpartial yl(e^gAr) = e^ggy A + e^gAy = e^x^2 y z^3l(2x^3 y^2 z^6 +2x^5 y z^7 +4x^3 z^4 +4x y z^3r)
Para f_{yx}, derivando f_y em relação a x:
fyx = partialpartial xl(e^gBr) = e^ggx B + e^gBx = e^x^2 y z^3l(2x^3 y^2 z^6 +2x^5 y z^7 +4x^3 z^4 +4x y z^3r)
Logo, f_{xy}=f_{yx}.

Passo 4

Em seguida fazemos f_{xz} e f_{zx}. Para f_{xz}, derivamos f_x em relação a z:
fxz = e^ggz A + e^gAz = e^x^2 y z^3l(6x^3 y^3 z^5 +6x^5 y^2 z^6 +14x^3 y z^3 +6x y^2 z^2 +2xr)
Para f_{zx}, derivamos f_z em relação a x:
fzx = e^ggx C + e^gCx = e^x^2 y z^3l(6x^3 y^3 z^5 +6x^5 y^2 z^6 +14x^3 y z^3 +6x y^2 z^2 +2xr)
Portanto f_{xz}=f_{zx}.

Passo 5

Finalmente calculamos f_{yz} e f_{zy}. Para f_{yz}, derivando f_y em relação a z:
fyz = e^ggz B + e^gBz = e^x^2 y z^3l(3x^4 y^2 z^5 +3x^6 y z^6 +6x^2 y z^2 +4x^4 z^3r)
Para f_{zy}, derivando f_z em relação a y:
fzy = e^ggy C + e^gCy = e^x^2 y z^3l(3x^4 y^2 z^5 +3x^6 y z^6 +6x^2 y z^2 +4x^4 z^3r)
Logo f_{yz}=f_{zy}, o que confirma o Teorema de Schwarz para todas as derivadas mistas de segunda ordem de f.

Resposta

As derivadas mistas de segunda ordem são:
f_{xy}=f_{yx}=e{x2 y z3}\bigl(2x3 y^2 z^6 + 2x^5 y z^7 + 4x^3 z^4 + 4x y z^3\bigr),
f_{xz}=f_{zx}=e{x2 y z3}\bigl(6x3 y^3 z^5 + 6x^5 y^2 z^6 + 14x^3 y z^3 + 6x y^2 z^2 + 2x\bigr),
f_{yz}=f_{zy}=e{x2 y z3}\bigl(3x4 y^2 z^5 + 3x^6 y z^6 + 6x^2 y z^2 + 4x^4 z^3\bigr).
Em todos os casos as derivadas mistas coincidem, logo o Teorema de Schwarz vale.

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