A empresa Cultura & Tradição produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de 15 reais. Estima-se que o custo total
para produzir e vender
unidades é dado por:
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a quantidade que deverá ser produzida para a empresa obter lucro máximo.
Passo 1
O enunciado diz que o produto é vendido a R$ 15 por unidade e que o custo total é dado por
Queremos maximizar o lucro, que é o conteúdo de derivadas de funções (no caso, lucro = receita − custo) e depois achar o ponto onde a derivada se anula.
Passo 2
Vamos definir a receita e a função lucro para depois derivar. A receita é simplesmente o preço vezes a quantidade, isto é
Logo, o lucro
Simplificando:
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
e igualamos a zero para achar os pontos críticos. Calculamos
Passo 4
Colocando em evidência:
Daí os candidatos são
Passo 5
Para confirmar que
é máximo, olhamos a segunda derivada:
Em
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo local (e global, pelo comportamento da função quartica).
Resposta
A empresa deve produzir 6 unidades para obter lucro máximo.