A empresa Cultura & Tradição produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de 15 reais. Estima-se que o custo total C(x) para produzir e vender x unidades é dado por:
C(x)=3 x^4-20 x^3-36 x^2+15 x+8
Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a quantidade que deverá ser produzida para a empresa obter lucro máximo.

Passo 1

O enunciado diz que o produto é vendido a R$ 15 por unidade e que o custo total é dado por
15 por unidade e que o custo total é dado por
Queremos maximizar o lucro, que é o conteúdo de derivadas de funções (no caso, lucro = receita − custo) e depois achar o ponto onde a derivada se anula.

Passo 2

Vamos definir a receita e a função lucro para depois derivar. A receita é simplesmente o preço vezes a quantidade, isto é
R(x)=15x
Logo, o lucro Pi(x) vale
Pi(x)=R(x)-C(x)=15x - l(3x^4-20x^3-36x^2+15x+8r)
Simplificando:
Pi(x)=-3x^4+20x^3+36x^2-8

Passo 3

Agora calculamos a derivada de Pi(x) e igualamos a zero para achar os pontos críticos. Calculamos
Pi'(x)=-12x^3+60x^2+72x

Passo 4

Colocando em evidência:
Pi'(x)=-12xl(x^2-5x-6r)=0
Daí os candidatos são x=0 e as raízes de x^2-5x-6=0, que são x=6 e x=-1. Como quantidade não pode ser negativa, só consideramos x=0 e x=6.

Passo 5

Para confirmar que x=6 é máximo, olhamos a segunda derivada:
Pi''(x)=-36x^2+120x+72
Em x=6 temos
Pi''(6)=-36cdot6^2+120cdot6+72=-504<0
Como a segunda derivada é negativa, x=6 é um ponto de máximo local (e global, pelo comportamento da função quartica).

Resposta

A empresa deve produzir 6 unidades para obter lucro máximo.

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