Questão 1) (Valor: 1,2 ponto) Calcule as integrais.
integral1^6 x^3-x^2+cos (pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de $ x^{3} - x^{2} + \cos(\pi x) $ no intervalo de 1 a 6. Para isso, vamos usar a técnica de integração termo a termo, que nos permite integrar cada parte da função separadamente. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para potências de $ x $ e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar $ x^{3} $. A regra para integrar $ x^{n} $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
x^3

Passo 3

Agora, vamos integrar $ -x^{2} $. Aplicando a mesma regra:
-x^2

Passo 4

Por último, vamos integrar $ \cos(\pi x) $. Para isso, usamos a regra de integração de funções trigonométricas com um coeficiente dentro:
cos(pi x)
Isso porque a derivada de $ \sin(\pi x) $ é $ \pi \cos(\pi x) $, então precisamos dividir por $ \pi $ para ajustar.

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais e avaliamos de 1 a 6:
[ x^44 - x^33 + sin(pi x)pi ]1^6
Isso significa que vamos calcular a expressão acima para $ x = 6 $ e $ x = 1 $ e depois subtrair os resultados.

Passo 6

Calculando para $ x = 6 $:
x = 6
Lembrando que $ \sin(6\pi) = 0 $ porque o seno de múltiplos inteiros de $ \pi $ é zero.

Passo 7

Calculando para $ x = 1 $:
x = 1
Novamente, $ \sin(\pi) = 0 $.

Passo 8

Subtraindo os dois resultados:
252 - (-112) = 252 + 112 = 252,0833
Ou, em fração, $ 252 \frac{1}{12} $.

Resposta

A integral $ \int_{1}^{6} x{3}-x{2}+\cos (\pi x) , dx $ é igual a aproximadamente $ 252,0833 $.

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