Questão 1) (Valor: 1,2 ponto) Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de $ x^{3} - x^{2} + \cos(\pi x) $ no intervalo de 1 a 6. Para isso, vamos usar a técnica de integração termo a termo, que nos permite integrar cada parte da função separadamente. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para potências de $ x $ e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar $ x^{3} $. A regra para integrar $ x^{n} $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Passo 3
Agora, vamos integrar $ -x^{2} $. Aplicando a mesma regra:
Passo 4
Por último, vamos integrar $ \cos(\pi x) $. Para isso, usamos a regra de integração de funções trigonométricas com um coeficiente dentro:
Isso porque a derivada de $ \sin(\pi x) $ é $ \pi \cos(\pi x) $, então precisamos dividir por $ \pi $ para ajustar.
Passo 5
Agora, juntamos todas as integrais e avaliamos de 1 a 6:
Isso significa que vamos calcular a expressão acima para $ x = 6 $ e $ x = 1 $ e depois subtrair os resultados.
Passo 6
Calculando para $ x = 6 $:
Lembrando que $ \sin(6\pi) = 0 $ porque o seno de múltiplos inteiros de $ \pi $ é zero.
Passo 7
Calculando para $ x = 1 $:
Novamente, $ \sin(\pi) = 0 $.
Passo 8
Subtraindo os dois resultados:
Ou, em fração, $ 252 \frac{1}{12} $.
Resposta
A integral $ \int_{1}^{6} x{3}-x{2}+\cos (\pi x) , dx $ é igual a aproximadamente $ 252,0833 $.