Questão 1) (Valor: 1,2 ponto) Calcule as integrais.
integral0^pi / 8 sec (4 x) tg(4 x) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral imprópria de 0 até π/8 de sec(4x)tan(4x),dx. O conteúdo é antiderivada de funções trigonométricas, em especial de sec(u)tan(u). Para resolver, vamos usar substituição e depois analisar a convergência do resultado.

Passo 2

Fazendo a substituição u=4x, temos du=4,dx ou dx=du/4. Os limites mudam assim: quando x=0, u=0; quando x=π/8, u=π/2. Portanto a integral vira
14integral0^pi/2sec(u)tan(u),du
Sabemos da teoria que a antiderivada de sec(u)tan(u) é sec(u).

Passo 3

Agora avaliamos como integral imprópria:
14l[sec(u)r]0^pi/2 =14l(limuto(pi/2)^-sec(u)-sec(0)r)
Como sec(u)=1/cos(u) vai para +infty quando uto(pi/2)^-, o resultado não é finito. Logo, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente (tende a +∞).

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