Uma empresa deseja produzir doce de leite, utilizando açúcar cristal e leite integral (cerca de 4,5 g de lactose / 100 g de leite). A concentração inicial máxima de açúcar permitida por lei (Portaria n³54, de 04 de setembro de 1997, MAPA) é de 30 %(m / m ) da massa de leite, e o rendimento médio dessa produção é de 40%. Para uma produção de 100 kg , determine:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A empresa quer produzir 100 kg de doce de leite usando açúcar cristal e leite integral. Temos algumas informações importantes:
  • Teoria: Vamos trabalhar com porcentagem em massa (massa de açúcar em relação à massa de leite) e rendimento de produção.
  • O que precisamos: Saber a quantidade máxima de açúcar permitida, a quantidade de lactose no leite, e o rendimento para calcular a quantidade inicial de ingredientes necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é porcentagem em massa. Isso significa que o açúcar não pode ultrapassar 30% da massa do leite usado. Então, se usarmos $ m $ kg de leite, o máximo de açúcar que podemos adicionar é $ 0,3m $ kg.

Passo 3

Sabemos também que o rendimento da produção é de 40%. Isso quer dizer que, para obter 100 kg de doce de leite, precisamos produzir mais do que isso inicialmente, já que apenas 40% do que produzimos realmente vira o produto final.
Vamos chamar a massa inicial de ingredientes de $ M $. Então:
M
Para encontrar $ M $:
0,4 times M = 100 , kg

Passo 4

Agora, sabemos que $ M = 250 , kg $ é a massa total inicial de leite e açúcar. Como a máxima concentração de açúcar é 30% da massa do leite, vamos chamar a massa de leite de $ L $ e a de açúcar de $ A $.
Temos:
M = 250 , kg
E também:
L
Substituindo $ A $ na segunda equação:
A
A = 0,3L
L + A = 250 , kg

Passo 5

Agora que temos a massa de leite, podemos calcular a massa de açúcar:
A = 0,3 times 192,31 approx 57,69 , kg

Passo 6

Por fim, vamos verificar a quantidade de lactose no leite, que é 4,5 g por 100 g de leite. Para 192,31 kg de leite:
Lactose = 4,5100 times 192,31 = 8,654 , kg

Resposta

Para produzir 100 kg de doce de leite com um rendimento de 40%, a empresa precisa inicialmente de aproximadamente 192,31 kg de leite integral e 57,69 kg de açúcar cristal.

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