Uma empresa deseja produzir doce de leite, utilizando açúcar cristal e leite integral (cerca de
de lactose / 100 g de leite). A concentração inicial máxima de açúcar permitida por lei (Portaria n³54, de 04 de setembro de 1997, MAPA) é de
) da massa de leite, e o rendimento médio dessa produção é de 40%. Para uma produção de 100 kg , determine:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A empresa quer produzir 100 kg de doce de leite usando açúcar cristal e leite integral. Temos algumas informações importantes:
- Teoria: Vamos trabalhar com porcentagem em massa (massa de açúcar em relação à massa de leite) e rendimento de produção.
- O que precisamos: Saber a quantidade máxima de açúcar permitida, a quantidade de lactose no leite, e o rendimento para calcular a quantidade inicial de ingredientes necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é porcentagem em massa. Isso significa que o açúcar não pode ultrapassar 30% da massa do leite usado. Então, se usarmos $ m $ kg de leite, o máximo de açúcar que podemos adicionar é $ 0,3m $ kg.
Passo 3
Sabemos também que o rendimento da produção é de 40%. Isso quer dizer que, para obter 100 kg de doce de leite, precisamos produzir mais do que isso inicialmente, já que apenas 40% do que produzimos realmente vira o produto final.
Vamos chamar a massa inicial de ingredientes de $ M $. Então:
Para encontrar $ M $:
Passo 4
Agora, sabemos que $ M = 250 , kg $ é a massa total inicial de leite e açúcar. Como a máxima concentração de açúcar é 30% da massa do leite, vamos chamar a massa de leite de $ L $ e a de açúcar de $ A $.
Temos:
E também:
Substituindo $ A $ na segunda equação:
Passo 5
Agora que temos a massa de leite, podemos calcular a massa de açúcar:
Passo 6
Por fim, vamos verificar a quantidade de lactose no leite, que é 4,5 g por 100 g de leite. Para 192,31 kg de leite:
Resposta
Para produzir 100 kg de doce de leite com um rendimento de 40%, a empresa precisa inicialmente de aproximadamente 192,31 kg de leite integral e 57,69 kg de açúcar cristal.