Uma empresa de desenvolvimento urbano está considerando a possibilidade de construir um centro comercial na região de São Paulo. Uma condição para que essa obra seja realizada é a construção de uma estrada que une a região ao centro da cidade. Se a prefeitura aprova a construção da estrada, há uma probabilidade de 0,90 de que a empresa construa o centro comercial, no entanto se a estrada não é aprovada a probabilidade é de 0,20 . Baseado na informação disponível, o presidente da empresa estima que há uma probabilidade de 0,60 de que a construção da estrada seja aprovada pela prefeitura.
(b) Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada tenha sido aprovada pela prefeitura.?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que uma empresa só vai construir um centro comercial se a prefeitura aprovar uma estrada. Se aprovar, a chance de eles construírem é 0,90; se não aprovar, é 0,20. E a prefeitura aprova a estrada com probabilidade 0,60.
Matéria: Probabilidades condicionais e Teorema de Bayes.
O que a gente precisa: encontrar a probabilidade de que a estrada tenha sido aprovada, dado que o centro comercial foi construído. Ou seja, queremos í.

Passo 2

Antes de tudo, vamos lembrar a teoria:
  1. Probabilidade total (ou lei da probabilidade total) diz que
P(Construído) = P(Aprovada);P(Construídomid Aprovada) + P(Não aprovada);P(Construídomid Não aprovada) ííãíã
  1. Teorema de Bayes nos dá
P(Aprovadamid Construído) = P(Construídomid Aprovada);P(Aprovada) P(Construído) ííí
Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular P(Construído) = 0,60 times 0,90 ;+; 0,40 times 0,20 = 0,54 ;+; 0,08 = 0,62 í pela lei da probabilidade total:
  • ã
  • í
  • íã
Então
í

Passo 4

Agora usamos o Teorema de Bayes:
P(Aprovadamid Construído) = P(Construídomid Aprovada);P(Aprovada) P(Construído) = 0,90 times 0,600,62 = 0,540,62 approx 0,8710 ííí

Resposta

A probabilidade de que a estrada tenha sido aprovada dado que o centro comercial foi construído é aproximadamente 0,871.

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