Um restaurante popular oferece dois tipos de refeições: salada completa ou um prato a base de carne. 20 % dos fregueses do sexo masculino preferem salada e 30 % das mulheres preferem carne . 75 % dos fregueses são homens. Um freguês é escolhido ao acaso. Considere os seguintes eventos: H : freguês é homem; M : freguês é mulher; A: freguês prefere salada ; B: freguês prefere carne. Calcule as probabilidades: P(H cap A), P(A mid H), P(H cup B) e P(A).

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho: temos um restaurante onde 75% dos fregueses são homens (evento H) e 25% são mulheres (evento M). Entre os homens, 20% preferem salada (evento A) e, entre as mulheres, 30% preferem carne (evento B). Daí vem que 80% dos homens preferem carne e 70% das mulheres preferem salada.
Conteúdo: probabilidade condicional, interseção, união e lei da probabilidade total. Vamos precisar de:
  • Definição de probabilidade condicional: P(Amid H)=P(Acap H)P(H)
  • Probabilidade da união: P(Hcup B)=P(H)+P(B)-P(Hcap B)
  • Lei da probabilidade total para A: P(A)=P(Hcap A)+P(Mcap A)
Agora, partiu cálculo!

Passo 2

Calcular P(H∩A): a probabilidade de ser homem e preferir salada.
Pela definição de condicional, ou mais diretamente:
P(Hcap A)=P(H)times P(Amid H)
Substituindo:
P(Hcap A)=0.75times 0.20=0.15

Passo 3

Calcular P(A∣H): que é justamente a fração de homens que preferem salada. O enunciado já deu:
P(Amid H)=20%=0.20

Passo 4

Calcular P(H∪B): probabilidade de ser homem ou preferir carne.
Usamos
P(Hcup B)=P(H)+P(B)-P(Hcap B)
Já temos P(H)=0.75. Falta P(B) e P(H∩B).
  • P(B)=probabilidade total de preferir carne: P(B)=P(H),P(Bmid H)+P(M),P(Bmid M) P(B)=0.75times0.80+0.25times0.30=0.60+0.075=0.675
  • P(H∩B)=0.75×0.80=0.60.
    Logo:
P(Hcup B)=0.75+0.675-0.60=0.825

Passo 5

Calcular P(A): probabilidade total de preferir salada.
Pela lei da probabilidade total:
P(A)=P(Hcap A)+P(Mcap A)
Já temos P(H∩A)=0.15. Falta P(M∩A)=P(M)×P(A∣M)=0.25×0.70=0.175.
Então:
P(A)=0.15+0.175=0.325

Resposta

P(H ∩ A) = 0.15
P(A ∣ H) = 0.20
P(H ∪ B) = 0.825
P(A) = 0.325

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