Um dado equilibrado é lançado até que o seis ocorra pela primeira vez. Determinar a probabilidade de que o número de lançamentos seja par.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançando um dado justo até aparecer o primeiro “6”. Queremos achar a probabilidade de o total de lançamentos ser um número par.
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de séries geométricas.
O que precisamos:
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de séries geométricas.
O que precisamos:
- Saber que, na distribuição geométrica,
ondeé a chance de “sucesso” (tirar 6).
2) Somar essas probabilidades parausando série geométrica.
Passo 2
Primeiro, note que
(chance de tirar 6) e
.
A probabilidade de dar o primeiro 6 exatamente no lançamento é
A probabilidade de dar o primeiro 6 exatamente no lançamento
Se quisermos
Passo 3
Agora somamos para todos os
:
$$P(Né par)=\sum_{k=1}^\infty P(N=2k)
=\sum_{k=1}^\infty (q,p),(q2){,k-1}.\sum_{k=1}^\infty (q,p)(q2){k-1}
=\frac{q,p}{1-q^2}.$$
Passo 4
Basta substituir
e
:
Então
$$P(Né par)
=\frac{q,p}{1-q^2}
=\frac{\tfrac56\cdot\tfrac16}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{\tfrac56\cdot\tfrac16}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{5}{11}.$$
Resposta
A probabilidade de o número de lançamentos ser par é
.