Um dado equilibrado é lançado até que o seis ocorra pela primeira vez. Determinar a probabilidade de que o número de lançamentos seja par.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançando um dado justo até aparecer o primeiro “6”. Queremos achar a probabilidade de o total de lançamentos ser um número par.
Conteúdo: distribuição geométrica e soma de séries geométricas.
O que precisamos:
  1. Saber que, na distribuição geométrica, P(N=n)=(1-p)^n-1p
    onde é a chance de “sucesso” (tirar 6).
    2) Somar essas probabilidades para usando série geométrica.

Passo 2

Primeiro, note que P(N=n)=q^,n-1p (chance de tirar 6) e P(N=2k)=q^,2k-1p = q^2k-2,q,p = (q,p),(q^2)^,k-1.
A probabilidade de dar o primeiro 6 exatamente no lançamento é

Se quisermos par, escrevemos com . Então

Passo 3

Agora somamos para todos os P(N é par)=sumk=1^infty P(N=2k) =sumk=1^infty (q,p),(q^2)^,k-1:
$$P(Né par)=\sum_{k=1}^\infty P(N=2k)
=\sum_{k=1}^\infty (q,p),(q2){,k-1}.\sum_{k=1}^\infty (q,p)(q2){k-1}
=\frac{q,p}{1-q^2}.$$

Passo 4

Basta substituir 1-q^2 = 1 - l(tfrac56r)^2 = 1 - tfrac2536 = tfrac1136 e P(N é par) =q,p1-q^2 =tfrac56cdottfrac16tfrac1136 =tfrac536tfrac1136 =511:

Então
$$P(Né par)
=\frac{q,p}{1-q^2}
=\frac{\tfrac56\cdot\tfrac16}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{11}{36}}
=\frac{5}{11}.$$

Resposta

A probabilidade de o número de lançamentos ser par é .

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