Uma empresa deve pagar R meses, meses, meses e 2.000,00 em 9 meses. O credor aceita a liquidação da dívida em dois pagamentos iguais à taxa de R a.a. com vencimentos em 6 e 12 meses respectivamente. Calcule o valor das parcelas sabendo-se que foi adotado juros simples e critério de desconto comercial na data focal zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa tem que pagar três dívidas: R$ 1.000 em 6 meses, R$ 2.000 em 9 meses e R$ 3.000 em 12 meses. O credor topou receber essa dívida em dois pagamentos iguais, sendo um em 6 meses e outro em 12 meses, com uma taxa de juros de 45% ao ano. Vamos usar juros simples e o desconto comercial para descobrir quanto serão esses pagamentos iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a taxa anual em taxa mensal, já que os prazos estão em meses. A taxa de juros simples é proporcional ao tempo, então:
i = 45% , ao ano = 45%12 = 3,75% , ao mês ê

Passo 3

Agora, vamos calcular o desconto comercial para cada pagamento. O desconto comercial ( D) é dado por:
D = i times t
Onde:
  • i é a taxa de juros mensal (3,75%)
  • t é o tempo em meses
Para o pagamento de 6 meses:
D6 = 0,0375 times 6 = 0,225 , (22,5%)
Para o pagamento de 12 meses:
D12 = 0,0375 times 12 = 0,45 , (45%)

Passo 4

Com o desconto comercial, o valor presente ( VP) dos pagamentos é:
VP = P times (1 - D)
Onde P é o valor da parcela.
Para o pagamento de 6 meses:
VP6 = P times (1 - 0,225) = P times 0,775
Para o pagamento de 12 meses:
VP12 = P times (1 - 0,45) = P times 0,55

Passo 5

A soma dos valores presentes das parcelas deve ser igual à soma dos valores presentes das dívidas originais. Então:
VP6 + VP12 = Total das dívidas í
Primeiro, calculamos o valor presente das dívidas usando juros simples. A fórmula é:
VP = F1 + i times t
Onde F é o valor futuro.
Para R$ 1.000 em 6 meses:
1.000 em 6 meses:
Para R$ 2.000 em 9 meses:
VP1 = 10001 + 0,0375 times 6 = 10001 + 0,225 = 10001,225 approx 816,33
Para R$ 3.000 em 12 meses:
Para R
Total das dívidas em valor presente:
VP2 = 20001 + 0,0375 times 9 = 20001 + 0,3375 = 20001,3375 approx 1494,77 í

Passo 6

Agora, igualamos a soma dos valores presentes das parcelas ao total das dívidas:
P times 0,775 + P times 0,55 = 4380,07
P(0,775 + 0,55) = 4380,07
P times 1,325 = 4380,07

Passo 7

Para encontrar P, isolamos a variável:
P = 4380,071,325 approx 3307,19

Resposta

As duas parcelas iguais são de aproximadamente R$ 3.307,19 cada.

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