Uma empresa deve produzir fios de aço que suportam uma tensão média de pelo menos 25 kgf ; abaixo disso o fio de aço é considerado fora de padrão. Para verificar se seu processo de produção está dentro ou fora do padrão requerido, ela testa 9 fios de aço, obtendo tensão média de ruptura de 22,13 kgf e desvio padrão de 3,74 kgf. Considere que a tensão de ruptura segue uma distribuição normal.
© Construa um intervalo de confiança para a tensão média de ruptura dos fios de aço dessa empresa com coeficiente de confiança de 90 %.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma empresa que faz fios de aço e precisa garantir que eles aguentem, em média, pelo menos 25 kgf de tensão. Se a média ficar abaixo disso, o fio tá fora do padrão. Para verificar se estão produzindo certinho, a empresa testou 9 fios e encontrou uma média de ruptura de 22,13 , kgf com um desvio padrão de 3,74 , kgf. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 90% para essa média de ruptura. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como distribuição normal, intervalo de confiança e distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que, com certa confiança (nesse caso, 90%), contém a verdadeira média da população. Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (9 fios) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para construir esse intervalo.

Passo 3

Vamos anotar os dados que temos:
  • Média da amostra ( barx): 22,13 , kgf
  • Desvio padrão da amostra (s): 3,74 , kgf
  • Tamanho da amostra (n): 9

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um intervalo de confiança de 90% e grau de liberdade df = n - 1 = 8. Esse valor nos diz quantos desvios padrões precisamos considerar para garantir essa confiança.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que para 90% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor crítico ( talpha/2) é aproximadamente 1,860.

Passo 5

Com o valor crítico em mãos, vamos calcular a margem de erro (ME). A fórmula para a margem de erro é:
ME = talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
ME = 1,860 times 3,74raiz9 = 1,860 times 3,743 = 1,860 times 1,2467 approx 2,323

Passo 6

Agora, vamos construir o intervalo de confiança. Ele é dado por:
barx pm ME
Substituindo os valores:
22,13 pm 2,323
Isso resulta em:
Limite Inferior = 22,13 - 2,323 = 19,807 , kgf
Limite Superior = 22,13 + 2,323 = 24,453 , kgf

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a tensão média de ruptura dos fios de aço é de aproximadamente 19,81 , kgf a 24,45 , kgf.

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