Uma empresa deve produzir fios de aço que suportam uma tensão média de pelo menos 25 kgf ; abaixo disso o fio de aço é considerado fora de padrão. Para verificar se seu processo de produção está dentro ou fora do padrão requerido, ela testa 9 fios de aço, obtendo tensão média de ruptura de
e desvio padrão de
. Considere que a tensão de ruptura segue uma distribuição normal.
© Construa um intervalo de confiança para a tensão média de ruptura dos fios de aço dessa empresa com coeficiente de confiança de
.
© Construa um intervalo de confiança para a tensão média de ruptura dos fios de aço dessa empresa com coeficiente de confiança de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma empresa que faz fios de aço e precisa garantir que eles aguentem, em média, pelo menos 25 kgf de tensão. Se a média ficar abaixo disso, o fio tá fora do padrão. Para verificar se estão produzindo certinho, a empresa testou 9 fios e encontrou uma média de ruptura de
com um desvio padrão de
. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 90% para essa média de ruptura. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como distribuição normal, intervalo de confiança e distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que, com certa confiança (nesse caso, 90%), contém a verdadeira média da população. Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (9 fios) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para construir esse intervalo.
Passo 3
Vamos anotar os dados que temos:
- Média da amostra (
): - Desvio padrão da amostra (s):
- Tamanho da amostra (n): 9
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um intervalo de confiança de 90% e grau de liberdade
. Esse valor nos diz quantos desvios padrões precisamos considerar para garantir essa confiança.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que para 90% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor crítico (
) é aproximadamente
.
Passo 5
Com o valor crítico em mãos, vamos calcular a margem de erro (ME). A fórmula para a margem de erro é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos construir o intervalo de confiança. Ele é dado por:
Substituindo os valores:
Isso resulta em:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a tensão média de ruptura dos fios de aço é de aproximadamente
a
.