Uma empresa deve produzir fios de aço que suportam uma tensão média de pelo menos 25 kgf ; abaixo disso o fio de aço é considerado fora de padrão. Para verificar se seu processo de produção está dentro ou fora do padrão requerido, ela testa 9 fios de aço, obtendo tensão média de ruptura de 22,13 kgf e desvio padrão de 3,74 kgf. Considere que a tensão de ruptura segue uma distribuição normal.
(b) Calcule o valor-p e conclua adotando um nível de significância de 5%. Interprete a sua conclusão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com uma empresa que fabrica fios de aço. Eles querem que os fios aguentem, em média, pelo menos 25 kgf de tensão. Para conferir se estão no ponto, eles testaram 9 fios e acharam que a média foi de 22,13 kgf, com um desvio padrão de 3,74 kgf. Nosso objetivo aqui é calcular o valor-p para ver se essa média está realmente abaixo do padrão exigido, usando um nível de significância de 5%. Vamos precisar usar o teste t, já que o tamanho da amostra é pequeno e a distribuição é normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses do teste. A hipótese nula (H₀) vai dizer que a média da tensão dos fios é pelo menos 25 kgf. A hipótese alternativa (H₁) vai dizer que a média é menor que 25 kgf.
  • H₀: μ ≥ 25 kgf
  • H₁: μ < 25 kgf

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste t. A fórmula é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} = 22,13 $ kgf (média da amostra)
  • $ \mu_0 = 25 $ kgf (média hipotética)
  • $ s = 3,74 $ kgf (desvio padrão da amostra)
  • $ n = 9 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
barx = 22,13

Passo 4

Com o valor de t calculado, vamos encontrar o valor-p. Como estamos testando se a média é menor que 25 kgf, é um teste unilateral à esquerda. Vamos procurar a probabilidade de obter um valor de t menor que -2,30 com 8 graus de liberdade (n-1 = 9-1).
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, encontramos que o valor-p é aproximadamente 0,022.

Passo 5

Agora, comparamos o valor-p com o nível de significância de 5% (0,05). Se o valor-p for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula.
Como 0,022 < 0,05, rejeitamos H₀.

Resposta

O valor-p é aproximadamente 0,022. Como é menor que 5%, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a média da tensão de ruptura dos fios de aço está abaixo do padrão exigido de 25 kgf.

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