Uma empresa deve produzir fios de aço que suportam uma tensão média de pelo menos 25 kgf ; abaixo disso o fio de aço é considerado fora de padrão. Para verificar se seu processo de produção está dentro ou fora do padrão requerido, ela testa 9 fios de aço, obtendo tensão média de ruptura de 22,13 kgf e desvio padrão de 3,74 kgf. Considere que a tensão de ruptura segue uma distribuição normal.
(a) Formule um teste de hipóteses adequado (especifique o parâmetro de interesse e estabeleça as hipóteses).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A empresa quer verificar se a média de tensão de ruptura dos fios de aço que ela produz está dentro do padrão mínimo exigido, que é de pelo menos 25 kgf. Para isso, eles testaram 9 fios e obtiveram uma média de 22,13 kgf com um desvio padrão de 3,74 kgf. A gente sabe que a tensão de ruptura segue uma distribuição normal. O conteúdo que vamos usar aqui é o de teste de hipóteses para uma média, especificamente usando a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (n = 9) e o desvio padrão populacional não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é o parâmetro de interesse. No caso, estamos analisando a média de tensão de ruptura dos fios de aço, que representamos por mu.

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses que vamos testar. Em um teste de hipóteses, temos duas hipóteses principais:
  1. Hipótese Nula ( H0): é a hipótese que representa o estado de “nenhuma mudança” ou “nenhuma diferença”. No nosso caso, é que a média de tensão de ruptura é pelo menos 25 kgf.
  2. Hipótese Alternativa ( HA): é a hipótese que queremos investigar, que é o contrário da hipótese nula. Aqui, é que a média de tensão de ruptura é menor que 25 kgf.

Passo 4

Vamos formalizar essas hipóteses matematicamente:
  • Hipótese Nula ( H0): mu >= 25 kgf
  • Hipótese Alternativa ( HA): mu < 25 kgf

Passo 5

Para deixar claro, vamos explicar o que cada hipótese significa:
  • Com H0: mu >= 25 kgf, estamos dizendo que a média de tensão de ruptura dos fios está dentro do padrão exigido ou até melhor.
  • Com HA: mu < 25 kgf, estamos sugerindo que a média está abaixo do padrão, ou seja, os fios estão fora do padrão requerido.

Passo 6

Então, a gente vai realizar um teste unilateral à esquerda porque estamos interessados em saber se a média é menor que 25 kgf. Esse tipo de teste é apropriado quando a hipótese alternativa envolve uma direção específica (neste caso, menor que).

Passo 7

Para concluir, vamos lembrar que, ao formular essas hipóteses, estaremos prontos para calcular o valor estatístico do teste e comparar com um valor crítico ou usar o p-valor para tomar uma decisão sobre aceitar ou rejeitar a hipótese nula.

Resposta

As hipóteses para o teste são:
  • Hipótese Nula ( H0): mu >= 25 kgf
  • Hipótese Alternativa ( HA): mu < 25 kgf

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