Uma empresa de eletricidade necessita instalar uma usina solar com painéis fotovoltaicos no município de Lençóis-BA, na Chapada Diamantina. Para obter um melhor aproveitamento da luz solar na produção de energia, a orientação da usina é requisito fundamental. A orientação ideal para a instalação dos painéis, na maioria das regiões brasileiras, é voltada para o Norte. Dois pontos com coordenadas conhecidas:
\mathrm{E} 1=239.277,660 \mathrm{~m} e N1 =8.613 .920,130 \mathrm{~m} ; \mathrm{E} 2=239.251,040 \mathrm{~m} e N2 =8.613 .798,040 m , foram determinados de forma que um vértice do campo da usina é coincidente com o ponto 2 de coordenadas conhecidas. Esse fator foi estabelecido em projeto. Tendo por base essas considerações, o azimute calculado entre esses dois pontos de coordenadas conhecidas é:
a) 02^{\circ} 18^{\prime} 12^{\prime \prime}
b) 18^{\circ} 12^{\prime} 00^{\prime \prime}
c) 12^{\circ} 18^{\prime} 00^{\prime \prime}
d) 05^{\circ} 18^{\prime} 12^{\prime \prime}
е) 05^{\circ} 18^{\prime} 00^{\prime \prime}

Passo 1

O problema pede que calculemos o azimute entre dois pontos com coordenadas planas (Easting e Northing). Dados fornecidos (estou pegando os valores do enunciado):
\begin{aligned} E_1 &= 239{,}277{,}660\\ \mathrm{m},\\\ N_1 &= 8{,}613{,}920{,}130\\ \mathrm{m},\\\ E_2 &= 239{,}251{,}040\\ \mathrm{m},\\\ N_2 &= 8{,}613{,}798{,}040\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é o azimute calculado entre esses dois pontos? (Opções apresentadas em graus-minutos-segundos.)

Passo 2

O que é azimute e como calculamos nesta situação (aula rápida, passo a passo):
  • Azimute de uma linha entre dois pontos é o ângulo medido a partir do Norte (sentido horário) até a direção do ponto destino.
  • Se quisermos o azimute da linha do ponto 2 para o ponto 1, definimos as variações: \Delta E = E_1 - E_2,\qquad \Delta N = N_1 - N_2.
  • Quando \Delta N>0 e \Delta E>0 (isto é, o destino está para nordeste), o azimute \alpha é dado por \alpha = \arctan\!\left(\frac{\Delta E}{\Delta N}\right),porque a tangente do ângulo medido desde o Norte é a razão entre a componente leste ( \Delta E) e a componente norte ( \Delta N).
    Observação: atenção aos quadrantes — aqui, como ambos positivos, não precisamos adicionar correção de 90^\circ, 180^\circ etc.

Passo 3

Calculemos as diferenças das coordenadas (contando os dados exatamente como fornecidos):
\begin{aligned} \Delta E &= E_1 - E_2 = 239{,}277{,}660 - 239{,}251{,}040 = 26{,}620\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta N &= N_1 - N_2 = 8{,}613{,}920{,}130 - 8{,}613{,}798{,}040 = 122{,}090\\ \mathrm{m}. \end{aligned}]

Passo 4

Calculamos a razão \dfrac{\Delta E}{\Delta N}:
\frac{\Delta E}{\Delta N}=\frac{26{,}620}{122{,}090}\approx 0{,}218035875\ldots
(esta divisão foi feita por método de divisão longa; dou os primeiros dígitos suficientes para obter segundos na conversão angular).

Passo 5

Agora calculamos o azimute \alpha=\arctan\!\left(0{,}218035875\right). Vou mostrar uma forma concreta de obter o valor em radianos usando a série de Taylor (útil quando não se usa calculadora): para |x|\lesssim 0{,}3,
\arctan x \approx x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}.
Tomando x=0{,}218035875:
\begin{aligned} x &= 0{,}218035875,\\[4pt] x^2 &\approx 0{,}047539643,\\[4pt] x^3 &\approx 0{,}010365347,\\[4pt] x^5 &\approx 0{,}000492\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Substituindo na série:
\arctan x \approx 0{,}218035875 - \frac{0{,}010365347}{3} + \frac{0{,}000492}{5} \approx 0{,}214679158\\ \text{rad}.
Convertemos radianos para graus usando 1\\ \text{rad} = \dfrac{180}{\pi} graus:
\alpha \approx 0{,}214679158\cdot\frac{180}{\pi}\approx 12{,}30021^\circ.
Agora convertemos a parte decimal para minutos e segundos:
0{,}30021^\circ \times 60 \approx 18{,}0126'\quad\Rightarrow\quad 18' \text{ e } 0{,}0126'\times 60 \approx 0{,}756''.
Arredondando para segundos inteiros (convencionais em topografia), obtemos
\alpha \approx 12^\circ\,18'\,0{,}8'' \approx 12^\circ\,18'\,0''.]

Passo 6

Verificação de quadrante: como \Delta N>0 e \Delta E>0, o azimute realmente fica no primeiro quadrante entre 0^\circ e 90^\circ. O valor calculado 12^\circ18'00'' é coerente com isso.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, o resultado corresponde à alternativa (c):
12^\circ 18' 00''.

Resposta

(c) 12^{\circ}18^{\prime}00^{\prime\prime}

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