Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por x^{3}+y^{3}-6 x y=0.

Passo 1

O enunciado pede: transformar a curva dada em coordenadas cartesianas pela equação
x^{3}+y^{3}-6xy=0
para uma equação equivalente em coordenadas polares. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
x^{3}+y^{3}-6xy=0
é a equação da curva em (x,y). Não há figura fornecida, apenas a equação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como passar de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis: (r,\theta), onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui \,r\ge 0 representa a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Vou substituir essas expressões na equação dada. Isso é a técnica padrão: expressar x e y em função de r e \theta e simplificar.

Passo 3

Substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta na equação \,x^{3}+y^{3}-6xy=0, obtemos, termo a termo:
x^{3} = r^{3}\cos^{3}\theta,\qquad y^{3} = r^{3}\sin^{3}\theta,\qquad xy = r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Então a equação vira
r^{3}\cos^{3}\theta + r^{3}\sin^{3}\theta - 6\,r^{2}\cos\theta\sin\theta = 0.

Passo 4

Agora fatoramos o que for comum para simplificar. Note que todos os termos têm um fator r^{2}. Fatorando r^{2} obtemos:
r^{2}\bigl(r(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta) - 6\cos\theta\sin\theta\bigr)=0.
Isto significa que a equação é satisfeita sempre que r^{2}=0 ou quando o parêntese é zero. Como r^{2}=0 equivale a r=0, isso diz que a origem é ponto da curva. Agora vamos tratar o caso r\neq 0.

Passo 5

Para r\neq 0 podemos dividir ambos os lados por r^{2} e resolver o restante:
r(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta) - 6\cos\theta\sin\theta = 0.
Isolando r,
r(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta) = 6\cos\theta\sin\theta,
logo
r = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta},
desde que o denominador não seja zero. Essa é a forma básica em coordenadas polares. Vou explicar e simplificar um pouco para ficar mais intuitivo na prova.

Passo 6

Podemos escrever \cos\theta\sin\theta usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, então
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta),
e a expressão para r fica também
r = \frac{3\sin(2\theta)}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta}.
Também é útil observar uma fatoração da soma de cubos:
\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta = (\cos\theta+\sin\theta)\bigl(1-\cos\theta\sin\theta\bigr),
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Essa forma pode ajudar a analisar para quais \theta o denominador zera (esses \theta correspondem a direções em que r tende ao infinito ou a assíntotas radiais). Mas para a resposta em coordenadas polares a forma explicada no passo anterior já é suficiente e direta.

Passo 7

Resumo final do que a equação representa em coordenadas polares:
  • A origem r=0 é solução (obtida do fator r^{2}=0).
  • Para r\neq 0 a curva é dada por
r = \frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta},
ou equivalentemente
r = \frac{3\sin(2\theta)}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta},
definida nos ângulos \theta em que o denominador não se anula.

Resposta

r=0
r=\dfrac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta} (ou r=\dfrac{3\sin(2\theta)}{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta}, para \cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\neq 0).

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