Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede: transformar a curva dada em coordenadas cartesianas pela equação
para uma equação equivalente em coordenadas polares. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é a equação da curva em
. Não há figura fornecida, apenas a equação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como passar de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
, onde
Aqui
representa a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Vou substituir essas expressões na equação dada. Isso é a técnica padrão: expressar
e
em função de
e
e simplificar.
Passo 3
Substituindo
e
na equação
, obtemos, termo a termo:
Então a equação vira
Passo 4
Agora fatoramos o que for comum para simplificar. Note que todos os termos têm um fator
. Fatorando
obtemos:
Isto significa que a equação é satisfeita sempre que
ou quando o parêntese é zero. Como
equivale a
, isso diz que a origem é ponto da curva. Agora vamos tratar o caso
.
Passo 5
Para
podemos dividir ambos os lados por
e resolver o restante:
Isolando
,
logo
desde que o denominador não seja zero. Essa é a forma básica em coordenadas polares. Vou explicar e simplificar um pouco para ficar mais intuitivo na prova.
Passo 6
Podemos escrever
usando a identidade
, então
e a expressão para
fica também
Também é útil observar uma fatoração da soma de cubos:
pois
. Essa forma pode ajudar a analisar para quais
o denominador zera (esses
correspondem a direções em que
tende ao infinito ou a assíntotas radiais). Mas para a resposta em coordenadas polares a forma explicada no passo anterior já é suficiente e direta.
Passo 7
Resumo final do que a equação representa em coordenadas polares:
- A origem
é solução (obtida do fator ). - Para
a curva é dada por
ou equivalentemente
definida nos ângulos
em que o denominador não se anula.