Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
pelo menos um bloco apresente defeito grave.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves.
    Logo, o total de blocos no lote é 12+5+3=20.
O engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote.
O que o problema pede:
  • Determinar a probabilidade de que pelo menos um dos 4 blocos selecionados apresente defeito grave.

Passo 2

Estratégia (explicada de modo didático e passo a passo):
  • “Pelo menos um” é mais fácil de calcular pelo complementar: usar a regra do complemento. A regra do complemento diz que
\Pr(\text{pelo menos um grave}) = 1 - \Pr(\text{nenhum grave}).
  • Como a amostragem é sem reposição e todas as seleções são igualmente prováveis, contamos números de maneiras (combinações). O número total de formas de escolher 4 blocos dentre 20 é \binom{20}{4}.
  • O evento “nenhum grave” significa escolher todos os 4 blocos entre os blocos não graves. Há 12+5=17 blocos não graves, então o número de maneiras para “nenhum grave” é \binom{17}{4}.
  • Assim,
\Pr(\text{nenhum grave})=\frac{\binom{17}{4}}{\binom{20}{4}}, \qquad \Pr(\text{pelo menos um grave})=1-\frac{\binom{17}{4}}{\binom{20}{4}}.
Breve aula sobre combinações:
  • O coeficiente binomial \binom{n}{k} conta quantas maneiras de escolher k objetos de um conjunto de n sem considerar ordem.
  • Fórmula: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Exemplo simples: \displaystyle \binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Mesmo raciocínio será usado abaixo, mas evitando calcular fatoriais grandes: multiplicamos apenas os fatores necessários no numerador e denominador.

Passo 3

Calcular \binom{20}{4} e \binom{17}{4} de forma prática:
\binom{20}{4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
20\cdot19=380,\quad 380\cdot18=6840,\quad 6840\cdot17=116280,
4\cdot3\cdot2\cdot1=24,\quad \frac{116280}{24}=4845.
Portanto \displaystyle \binom{20}{4}=4845.
Agora \displaystyle \binom{17}{4}=\frac{17\cdot16\cdot15\cdot14}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando:
17\cdot16=272,\quad 272\cdot15=4080,\quad 4080\cdot14=57120,
\frac{57120}{24}=2380.
Portanto \displaystyle \binom{17}{4}=2380.

Passo 4

Calcular a probabilidade usando os valores obtidos:
\Pr(\text{nenhum grave})=\frac{2380}{4845}.
Aplicando o complemento:
\Pr(\text{pelo menos um grave})=1-\frac{2380}{4845}=\frac{4845-2380}{4845}=\frac{2465}{4845}.
Simplificando a fração:
\frac{2465}{4845}=\frac{493}{969}=\frac{29}{57}.
Converter para decimal (aproximação útil na prova):
\frac{29}{57}\approx0,5088\quad(\text{ou }50{,}88\%).

Resposta

\dfrac{29}{57}\approx0,5088

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