Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
- 12 blocos sem defeitos;
- 5 blocos com pequenas fissuras;
- 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
pelo menos um bloco apresente defeito grave.
pelo menos um bloco apresente defeito grave.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
blocos sem defeitos; - Há
blocos com pequenas fissuras; - Há
blocos com defeitos graves.
Logo, o total de blocos no lote é.
O engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição,
blocos desse lote.
O que o problema pede:
- Determinar a probabilidade de que pelo menos um dos
blocos selecionados apresente defeito grave.
Passo 2
Estratégia (explicada de modo didático e passo a passo):
- “Pelo menos um” é mais fácil de calcular pelo complementar: usar a regra do complemento. A regra do complemento diz que
- Como a amostragem é sem reposição e todas as seleções são igualmente prováveis, contamos números de maneiras (combinações). O número total de formas de escolher
blocos dentre é . - O evento “nenhum grave” significa escolher todos os
blocos entre os blocos não graves. Há blocos não graves, então o número de maneiras para “nenhum grave” é . - Assim,
Breve aula sobre combinações:
- O coeficiente binomial
conta quantas maneiras de escolher objetos de um conjunto de sem considerar ordem. - Fórmula:
, onde (fatorial) é . - Exemplo simples:
. Mesmo raciocínio será usado abaixo, mas evitando calcular fatoriais grandes: multiplicamos apenas os fatores necessários no numerador e denominador.
Passo 3
Calcular
e
de forma prática:
Calculando passo a passo:
Portanto
.
Agora
.
Calculando:
Calculando:
Portanto
.
Passo 4
Calcular a probabilidade usando os valores obtidos:
Aplicando o complemento:
Simplificando a fração:
Converter para decimal (aproximação útil na prova):