Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
exatamente 2 blocos apresentem pequenas fissuras;

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de blocos no lote e pede a probabilidade de um evento específico. Dados fornecidos:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves;
  • seleciona-se, ao acaso e sem reposição, 4 blocos.
Pergunta que devemos responder:
  • Qual a probabilidade de que exatamente 2 dos 4 blocos selecionados apresentem pequenas fissuras?

Passo 2

Ideia geral e justificativa do método (explicação didática):
  • Como a seleção é sem reposição e todas as amostras de tamanho 4 são igualmente prováveis, podemos contar quantas amostras favoráveis existem e dividir pelo total de amostras possíveis.
  • A contagem de subconjuntos sem ordem é feita com combinações. A combinação “escolher k de n ” é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
onde n! (fatorial) é n\times(n-1)\times\cdots\times1 . Exemplo rápido: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
  • O modelo que descreve “tirar sem reposição e contar sucessos” é a distribuição hipergeométrica. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos quando há K itens de interesse em um total N e se escolhe n itens é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}
Aqui cada parte significa:
  • N : tamanho total do lote;
  • K : número de itens com a característica (aqui, pequenas fissuras);
  • n : tamanho da amostra;
  • k : número de itens desejados na amostra.
  • Aplicaremos essa fórmula com os valores do problema.

Passo 3

Identificação das variáveis no problema:
  • Total de blocos N=12+5+3=20 .
  • Número de blocos com pequenas fissuras K=5 .
  • Tamanho da amostra n=4 .
  • Queremos exatamente k=2 blocos com pequenas fissuras.

Passo 4

Calcular o número total de amostras possíveis (denominador):
\binom{N}{n}=\binom{20}{4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}
Fazendo cancelamentos simples sem calculadora: 20/4=5 , 18/3=6 , 6/2=3 . Então resta
\binom{20}{4}=5\cdot19\cdot3\cdot17.
Calculando passo a passo: 5\cdot19=95 , 95\cdot3=285 , 285\cdot17=4845 . Logo
\binom{20}{4}=4845.

Passo 5

Calcular o número de amostras favoráveis (numerador): exatamente 2 com pequenas fissuras e 2 sem pequenas fissuras.
  • Escolher 2 dos 5 com pequenas fissuras:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
  • Escolher 2 dos 15 restantes (os 12 sem defeitos mais os 3 com defeitos graves):
\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}=105.
  • Número total de amostras favoráveis:
10\cdot105=1050.

Passo 6

Calcular a probabilidade e simplificar:
P(\text{exatamente 2 fissuras})=\frac{1050}{4845}.
Dividindo numerador e denominador por 15 obtém-se
\frac{1050}{4845}=\frac{70}{323}.
Valor aproximado (para interpretação numérica):
\frac{70}{323}\approx0{,}2167.

Resposta

\dfrac{70}{323}\approx0{,}2167

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