Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
- 12 blocos sem defeitos;
- 5 blocos com pequenas fissuras;
- 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
exatamente 2 blocos apresentem pequenas fissuras;
exatamente 2 blocos apresentem pequenas fissuras;
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de blocos no lote e pede a probabilidade de um evento específico. Dados fornecidos:
-
12 blocos sem defeitos; -
5 blocos com pequenas fissuras; -
3 blocos com defeitos graves; - seleciona-se, ao acaso e sem reposição,
4 blocos.
Pergunta que devemos responder:
- Qual a probabilidade de que exatamente
2 dos 4 blocos selecionados apresentem pequenas fissuras?
Passo 2
Ideia geral e justificativa do método (explicação didática):
- Como a seleção é sem reposição e todas as amostras de tamanho
4 são igualmente prováveis, podemos contar quantas amostras favoráveis existem e dividir pelo total de amostras possíveis. - A contagem de subconjuntos sem ordem é feita com combinações. A combinação “escolher
k de n ” é dada por
onde
n!
(fatorial) é
n\times(n-1)\times\cdots\times1
. Exemplo rápido:
.
- O modelo que descreve “tirar sem reposição e contar sucessos” é a distribuição hipergeométrica. A fórmula para a probabilidade de exatamente
k sucessos quando há K itens de interesse em um total N e se escolhe n itens é
Aqui cada parte significa:
-
N : tamanho total do lote; -
K : número de itens com a característica (aqui, pequenas fissuras); -
n : tamanho da amostra; -
k : número de itens desejados na amostra. - Aplicaremos essa fórmula com os valores do problema.
Passo 3
Identificação das variáveis no problema:
- Total de blocos
N=12+5+3=20 . - Número de blocos com pequenas fissuras
K=5 . - Tamanho da amostra
n=4 . - Queremos exatamente
k=2 blocos com pequenas fissuras.
Passo 4
Calcular o número total de amostras possíveis (denominador):
Fazendo cancelamentos simples sem calculadora:
20/4=5
,
18/3=6
,
6/2=3
. Então resta
Calculando passo a passo:
5\cdot19=95
,
95\cdot3=285
,
285\cdot17=4845
. Logo
Passo 5
Calcular o número de amostras favoráveis (numerador): exatamente
2
com pequenas fissuras e
2
sem pequenas fissuras.
- Escolher
2 dos 5 com pequenas fissuras:
- Escolher
2 dos 15 restantes (os 12 sem defeitos mais os 3 com defeitos graves):
- Número total de amostras favoráveis:
Passo 6
Calcular a probabilidade e simplificar:
Dividindo numerador e denominador por
15
obtém-se
Valor aproximado (para interpretação numérica):