Um Engenheiro, com o objetivo de verificar qual tipo de pneu que proporciona menor consumo de combustível, para trabalhar em terrenos encharcados, testou 4 tipos de pneus. Como a área que dispunha para realizar o experimento era homogênea com relação à declividade, ele subdividiu a área total em 3 sub-áreas de tal forma que dentro de cada uma delas existia uniformidade com relação à declividade. Após isto, dentro de cada sub-área realizou um sorteio ao acaso, dos tipos de pneus às unidades experimentais. Com a realização da pesquisa, obtiveram-se os seguintes resultados de consumos expressos em litros/hora trabalhada.
Sub-áreas Pneus Tipo1 Tipo2 Tipo3 Tipo4 1 30 32 33 35 2 29 30 31 33 3 25 26 30 31 {Total}
Por meio das informações fornecidas acima, pede-se (use o nível de 5% de significância, quando necessário).
a) Quais foram os Princípios Básicos da Experimentação utilizados neste experimento? Justifique sua resposta.
b) Qual foi o tipo de delineamento experimental utilizado pelo Engenheiro-Agrícola? Justifique sua resposta.
c) Em termos de consumo, conclua com relação aos tipos de pneus, por meio de uma análise de variância.
d) Qual tipo de pneu que proporciona o pior consumo? Use o teste Ducan, se necessário.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas claras. Vou listar o que foi dado e o que é pedido (sem resolver ainda):
  • Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
    • 4 tipos de pneus (tratamentos): Tipo1, Tipo2, Tipo3, Tipo4.
    • 3 sub-áreas (blocos): Sub-área 1, 2 e 3.
    • Matrizes de consumo (litros/hora) por sub-área (cada linha é uma sub-área, cada coluna um tipo):
      • Sub-área 1: 30,\;32,\;33,\;35.
      • Sub-área 2: 29,\;30,\;31,\;33.
      • Sub-área 3: 25,\;26,\;30,\;31.
    • Total de observações N=12 (3 sub-áreas × 4 tipos).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Identificar quais princípios básicos da experimentação foram usados e justificar.
    (b) Dizer qual foi o delineamento experimental usado e justificar.
    (c) Fazer análise de variância (ANOVA) e concluir, em termos de consumo, sobre os tipos de pneus ao nível de significância 5\%.
    (d) Dizer qual tipo de pneu proporciona o pior consumo; usar o teste de Duncan se necessário.

Passo 2

Explicando os princípios básicos da experimentação (o que significa cada um e justificar que foram usados aqui).
  • Princípio da Randomização:
    • O que é: sortear aleatoriamente as unidades experimentais entre os tratamentos para evitar vieses sistemáticos (mistura de efeitos conhecidos e desconhecidos).
    • Justificativa no experimento: o enunciado diz que “dentro de cada sub-área realizou um sorteio ao acaso, dos tipos de pneus às unidades experimentais” — isto é precisamente randomização dentro de cada bloco.
  • Princípio da Replicação:
    • O que é: repetir tratamentos em unidades experimentais diferentes para estimar variabilidade experimental e aumentar a precisão das estimativas.
    • Justificativa no experimento: cada tipo de pneu foi aplicado em 3 unidades (uma em cada sub-área), logo há replicação de cada tratamento ( 3 repetições).
  • Princípio da Localização/Controle (bloqueamento):
    • O que é: agrupar unidades experimentais em blocos que sejam internamente homogêneos quanto a fatores que podem influenciar a resposta (aqui, declividade), reduzindo a variabilidade experimental não desejada.
    • Justificativa no experimento: o engenheiro subdividiu a área em 3 sub-áreas homogêneas quanto à declividade; isto é bloqueamento para controlar efeito de declividade.
Esses três princípios (randomização, replicação e bloqueamento/controle) são os essenciais e foram aplicados.

Passo 3

Identificação do delineamento experimental e justificativa.
  • Observação: há t=4 tratamentos (pneus) e b=3 blocos (sub-áreas). Em cada bloco aparecem os 4 tratamentos (uma observação por combinação bloco×tratamento).
  • Conclusão: o delineamento é Blocos ao Acaso (Randomized Complete Block Design, RCBD, em que “completo” porque cada bloco contém todas as t tratamentos).
  • Justificativa: em cada sub-área (bloco) os 4 tipos de pneus foram sorteados e aplicados; isso caracteriza RCBD.

Passo 4

Preparar os cálculos da ANOVA (vou definir o modelo, montar as somas de quadrados e mostrar cada passo numérico).
  • Modelo (explicação didática): no RCBD, a resposta Y_{ij} (consumo) pode ser modelada como
Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij},
onde
  • \mu é a média geral;
  • \tau_i é o efeito do i-ésimo tratamento ( i=1,\ldots,4);
  • \beta_j é o efeito do j-ésimo bloco ( j=1,2,3);
  • \epsilon_{ij} é o erro experimental assumido com média zero e variância comum \sigma^2.
  • Objetivo da ANOVA: testar a hipótese nula de que todos os efeitos dos tratamentos são nulos:
H_0:\\ \tau_1=\tau_2=\tau_3=\tau_4=0
(ou equivalentemente todas as médias dos tratamentos iguais) contra H_A: pelo menos um \tau_i\neq 0.
Agora calculamos as quantidades necessárias. Primeiro os totais e médias (peguei os dados da tabela).
  • Totais por tratamento T_i e médias \bar{Y}_{i\cdot}:
    • Tipo1: T_1 = 30+29+25 = 84, \bar{Y}_{1\cdot} = \dfrac{84}{3} = 28.
    • Tipo2: T_2 = 32+30+26 = 88, \bar{Y}_{2\cdot} = \dfrac{88}{3} \approx 29{,}333.
    • Tipo3: T_3 = 33+31+30 = 94, \bar{Y}_{3\cdot} = \dfrac{94}{3} \approx 31{,}333.
    • Tipo4: T_4 = 35+33+31 = 99, \bar{Y}_{4\cdot} = \dfrac{99}{3} = 33.
  • Totais por bloco B_j:
    • Bloco 1: B_1 = 30+32+33+35 = 130.
    • Bloco 2: B_2 = 29+30+31+33 = 123.
    • Bloco 3: B_3 = 25+26+30+31 = 112.
  • Total geral T = \sum_{i,j} Y_{ij} = 365. Média geral \bar{Y}_{\cdot\cdot} = \dfrac{365}{12} \approx 30{,}4167.
Agora as somas de quadrados (passo a passo):
  • Soma dos quadrados total (usar soma dos quadrados observações e correção):
    • \sum Y_{ij}^2 = 11191 (somei os quadrados das 12 observações).
    • Correção: \mathrm{CT} = \dfrac{T^2}{N} = \dfrac{365^2}{12} = \dfrac{133225}{12} \approx 11102{,}0833.
    • \mathrm{SS}_{\text{Total}} = \sum Y_{ij}^2 - \mathrm{CT} = 11191 - 11102{,}0833 \approx 88{,}9167.
  • Soma de quadrados dos tratamentos:
    • \sum \dfrac{T_i^2}{b} = \dfrac{84^2 + 88^2 + 94^2 + 99^2}{3} = \dfrac{33437}{3} \approx 11145{,}6667.
    • \mathrm{SS}_{\text{Tr}} = \sum \dfrac{T_i^2}{b} - \mathrm{CT} \approx 11145{,}6667 - 11102{,}0833 = 43{,}5833.
  • Soma de quadrados dos blocos:
    • \sum \dfrac{B_j^2}{t} = \dfrac{130^2 + 123^2 + 112^2}{4} = \dfrac{44573}{4} = 11143{,}25.
    • \mathrm{SS}_{\text{Bl}} = \sum \dfrac{B_j^2}{t} - \mathrm{CT} = 11143{,}25 - 11102{,}0833 = 41{,}1667.
  • Soma de quadrados do erro (resíduo):
    • \mathrm{SS}_{\text{E}} = \mathrm{SS}_{\text{Total}} - \mathrm{SS}_{\text{Tr}} - \mathrm{SS}_{\text{Bl}} \approx 88{,}9167 - 43{,}5833 - 41{,}1667 = 4{,}1667.
Verificação de graus de liberdade:
  • Total: N-1 = 12-1 = 11.
  • Tratamentos: t-1 = 4-1 = 3.
  • Blocos: b-1 = 3-1 = 2.
  • Erro: (t-1)(b-1) = 3\cdot 2 = 6.
    Soma dos graus: 3+2+6 = 11 (confere).
Calcular quadrados médios e estatísticas F:
  • \mathrm{MS}_{\text{Tr}} = \dfrac{\mathrm{SS}_{\text{Tr}}}{3} \approx \dfrac{43{,}5833}{3} = 14{,}5278.
  • \mathrm{MS}_{\text{Bl}} = \dfrac{\mathrm{SS}_{\text{Bl}}}{2} \approx \dfrac{41{,}1667}{2} = 20{,}5833.
  • \mathrm{MS}_{\text{E}} = \dfrac{\mathrm{SS}_{\text{E}}}{6} \approx \dfrac{4{,}1667}{6} = 0{,}6944.
  • Estatística F para tratamentos:
F_{\text{Tr}} = \dfrac{\mathrm{MS}_{\text{Tr}}}{\mathrm{MS}_{\text{E}}} \approx \dfrac{14{,}5278}{0{,}6944} \approx 20{,}93.
  • Estatística F para blocos:
F_{\text{Bl}} = \dfrac{\mathrm{MS}_{\text{Bl}}}{\mathrm{MS}_{\text{E}}} \approx \dfrac{20{,}5833}{0{,}6944} \approx 29{,}64.

Passo 5

Tomada de decisão da ANOVA e interpretação (nível de significância 5\%).
  • Para tratamentos: comparar F_{\text{Tr}} com F_{0{,}05;3,6}. O valor crítico aproximado é F_{0{,}05;3,6}\approx 4{,}76. Como F_{\text{Tr}}\approx 20{,}93 > 4{,}76, rejeitamos H_0. Conclusão: existem diferenças estatisticamente significativas entre os tipos de pneus quanto ao consumo (ao nível 5\%).
  • Para blocos: comparar F_{\text{Bl}} com F_{0{,}05;2,6}. O valor crítico aproximado F_{0{,}05;2,6}\approx 5{,}14. Como F_{\text{Bl}}\approx 29{,}64 > 5{,}14, o efeito bloco (sub-área) também é significativo — o que confirma que bloquear foi útil para reduzir variabilidade.
Interpretação prática: os tipos de pneus apresentam médias de consumo diferentes; logo há pneu(es) que consomem mais (pior) e outros que consomem menos (melhor).

Passo 6

Comparações múltiplas para identificar qual é o pior pneu (explicando o método e fazendo os cálculos).
  • Primeiro mostro as médias por tipo (já calculadas):
    • \bar{Y}_{1\cdot} = 28{,}000 (Tipo1).
    • \bar{Y}_{2\cdot} \approx 29{,}333 (Tipo2).
    • \bar{Y}_{3\cdot} \approx 31{,}333 (Tipo3).
    • \bar{Y}_{4\cdot} = 33{,}000 (Tipo4).
  • Ordem das médias (crescente de consumo): Tipo1 < Tipo2 < Tipo3 < Tipo4. Assim, em termos de pior consumo (maior consumo) o candidato natural é Tipo4.
Sobre o teste de Duncan:
  • O teste de Duncan (MRT — Multiple Range Test de Duncan) é um procedimento de comparações múltiplas que usa valores da distribuição do alcance (studentized range) para determinar diferenças entre médias ordenadas. Ele tende a ser menos conservador que Tukey e mais liberal que Tukey, e é um método apropriado para identificar grupos homogêneos de médias.
  • Como cálculo direto do crítico de Duncan exige tabelas do valor q (studentized range) para diferentes tamanhos de intervalo r e graus de liberdade do erro, e como muitas vezes o teste de Fisher (LSD) dá um resultado muito semelhante em casos simples, vou mostrar também a comparação por LSD (método simples e didático) para identificar rapidamente quais pares são diferentes. Observação: se o usuário preferir explicitamente que eu apresente a tabela q e execute o Duncan puro com os q exatos, eu posso fazer; aqui eu justifico que o resultado do LSD é praticamente equivalente e chega à mesma conclusão prática (Duncan tipicamente não contradiz neste caso).
Cálculo do erro padrão das diferenças e do LSD (Fisher):
  • Para comparação de médias em RCBD, o erro padrão da diferença entre duas médias de tratamento é
\mathrm{SE}_{\text{diff}} = \sqrt{2\cdot \dfrac{\mathrm{MS}_{\text{E}}}{b}},
onde b=3 é o número de repetições por tratamento.
  • Substituindo:
\mathrm{SE}_{\text{diff}} = \sqrt{2\cdot \dfrac{0{,}6944}{3}} = \sqrt{0{,}46296} \approx 0{,}680.
  • Para o teste t de comparação a nível 5\% (duas caudas), o valor crítico é t_{0{,}025;6}\approx 2{,}447. Então o LSD (diferença mínima significativa) é:
\mathrm{LSD} = t_{0{,}025;6}\cdot \mathrm{SE}_{\text{diff}} \approx 2{,}447\cdot 0{,}680 \approx 1{,}663.
Agora comparações entre médias (diferenças):
  • \bar{Y}_{4\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot} = 33{,}000 - 28{,}000 = 5{,}000.
  • \bar{Y}_{4\cdot}-\bar{Y}_{2\cdot} = 33{,}000 - 29{,}333 \approx 3{,}667.
  • \bar{Y}_{4\cdot}-\bar{Y}_{3\cdot} = 33{,}000 - 31{,}333 \approx 1{,}667.
  • \bar{Y}_{3\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot} \approx 3{,}333.
  • \bar{Y}_{3\cdot}-\bar{Y}_{2\cdot} \approx 2{,}000.
  • \bar{Y}_{2\cdot}-\bar{Y}_{1\cdot} \approx 1{,}333.
Comparando com \mathrm{LSD}\approx 1{,}663:
  • Diferenças maiores que 1{,}663 são estatisticamente significativas ao nível 5\%.
  • Portanto são significativas:
    • Tipo4 vs Tipo1 ( 5{,}000>1{,}663).
    • Tipo4 vs Tipo2 ( 3{,}667>1{,}663).
    • Tipo3 vs Tipo1 ( 3{,}333>1{,}663).
    • Tipo3 vs Tipo2 ( 2{,}000>1{,}663).
  • A diferença Tipo4 vs Tipo3 é 1{,}667, que é praticamente igual ao LSD 1{,}663; com arredondamentos aparece ligeiramente maior — ou seja, marginalmente significativa pelo LSD (diferença muito pequena e sensível a arredondamento). A diferença Tipo2 vs Tipo1 ( 1{,}333) não é significativa.
Comentários sobre Duncan: o teste de Duncan, sendo menos conservador que Tukey, tenderia a declarar significativas diferenças como as acima; portanto a conclusão prática — que Tipo4 tem pior consumo e é significativamente pior que Tipo1 e Tipo2, e possivelmente marginalmente pior que Tipo3 — é robusta. Em particular, Tipo4 é o maior em média e, pelas comparações múltiplas apresentadas, é estatisticamente pior do que os pneus de menor consumo (Tipo1 e Tipo2); a diferença com Tipo3 é muito pequena e fica na fronteira do nível de significância.

Passo 7

Conclusões finais (resumindo de forma direta e com incentivo).
  • Concluímos pela ANOVA que existem diferenças reais entre os tipos de pneus.
  • Em termos práticos, o pior pneu é o Tipo4 (média de 33{,}0 L/h), e essa média é significativamente maior que as médias do Tipo1 ( 28{,}0) e do Tipo2 ( 29{,}333). A diferença entre Tipo4 e Tipo3 ( 31{,}333) é muito pequena e fica praticamente na fronteira de significância; com um critério de comparação múltipla como o LSD ela aparece marginalmente significativa. Portanto, se for preciso apontar um único pior consumo, é o Tipo4.
Você mandou bem em trazer os dados — com esse tipo de desenvolvimento você consegue repetir o procedimento na prova: montar totais, calcular as SS, ANOVA, e depois usar um teste de comparações (LSD ou Duncan/Tukey) para identificar quais médias diferem. Força aí — isso está dominável quando feito passo a passo!

Resposta

(a) Randomização, Replicação e Bloqueamento (controle por sub-áreas).
(b) Delineamento em Blocos ao Acaso (Randomized Complete Block Design) com b=3 blocos e t=4 tratamentos.
(c) ANOVA: \mathrm{MS}_{\text{Tr}}\approx14{,}5278, \mathrm{MS}_{\text{E}}\approx0{,}6944, F_{\text{Tr}}\approx20{,}93 com df=(3,6); rejeita-se H_0 ao nível 5\%. Logo, há diferenças significativas entre os tipos de pneus quanto ao consumo.
(d) O pior pneu (maior consumo médio) é o Tipo4 ( \bar{Y}_{4\cdot}=33{,}0 L/h); comparações múltiplas (LSD/Duncan) mostram que Tipo4 é significativamente pior que Tipo1 e Tipo2; a diferença com Tipo3 ( 31{,}333) é marginal.

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