Um Engenheiro, com o objetivo de verificar qual tipo de pneu que proporciona menor consumo de combustível, para trabalhar em terrenos encharcados, testou 4 tipos de pneus. Como a área que dispunha para realizar o experimento era homogênea com relação à declividade, ele subdividiu a área total em 3 sub-áreas de tal forma que dentro de cada uma delas existia uniformidade com relação à declividade. Após isto, dentro de cada sub-área realizou um sorteio ao acaso, dos tipos de pneus às unidades experimentais. Com a realização da pesquisa, obtiveram-se os seguintes resultados de consumos expressos em litros/hora trabalhada.
Sub-áreas
Pneus
Tipo1
Tipo2
Tipo3
Tipo4 1
30
32
33
35 2
29
30
31
33 3
25
26
30
31 {Total}
Por meio das informações fornecidas acima, pede-se (use o nível de 5% de significância, quando necessário).
a) Quais foram os Princípios Básicos da Experimentação utilizados neste experimento? Justifique sua resposta.
b) Qual foi o tipo de delineamento experimental utilizado pelo Engenheiro-Agrícola? Justifique sua resposta.
c) Em termos de consumo, conclua com relação aos tipos de pneus, por meio de uma análise de variância.
d) Qual tipo de pneu que proporciona o pior consumo? Use o teste Ducan, se necessário.
| Sub-áreas | Pneus | Tipo1 | Tipo2 | Tipo3 | Tipo4 1 | 30 | 32 | 33 | 35 2 | 29 | 30 | 31 | 33 3 | 25 | 26 | 30 | 31 {Total} | |||||||
a) Quais foram os Princípios Básicos da Experimentação utilizados neste experimento? Justifique sua resposta.
b) Qual foi o tipo de delineamento experimental utilizado pelo Engenheiro-Agrícola? Justifique sua resposta.
c) Em termos de consumo, conclua com relação aos tipos de pneus, por meio de uma análise de variância.
d) Qual tipo de pneu que proporciona o pior consumo? Use o teste Ducan, se necessário.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras. Vou listar o que foi dado e o que é pedido (sem resolver ainda):
- Dados (peguei os números da tabela do enunciado):
- Há
tipos de pneus (tratamentos): Tipo1, Tipo2, Tipo3, Tipo4. - Há
sub-áreas (blocos): Sub-área , e . - Matrizes de consumo (litros/hora) por sub-área (cada linha é uma sub-área, cada coluna um tipo):
- Sub-área
: . - Sub-área
: . - Sub-área
: .
- Sub-área
- Total de observações
(3 sub-áreas × 4 tipos).
- Há
- O que o enunciado pede:
(a) Identificar quais princípios básicos da experimentação foram usados e justificar.
(b) Dizer qual foi o delineamento experimental usado e justificar.
(c) Fazer análise de variância (ANOVA) e concluir, em termos de consumo, sobre os tipos de pneus ao nível de significância.
(d) Dizer qual tipo de pneu proporciona o pior consumo; usar o teste de Duncan se necessário.
Passo 2
Explicando os princípios básicos da experimentação (o que significa cada um e justificar que foram usados aqui).
-
Princípio da Randomização:
- O que é: sortear aleatoriamente as unidades experimentais entre os tratamentos para evitar vieses sistemáticos (mistura de efeitos conhecidos e desconhecidos).
- Justificativa no experimento: o enunciado diz que “dentro de cada sub-área realizou um sorteio ao acaso, dos tipos de pneus às unidades experimentais” — isto é precisamente randomização dentro de cada bloco.
-
Princípio da Replicação:
- O que é: repetir tratamentos em unidades experimentais diferentes para estimar variabilidade experimental e aumentar a precisão das estimativas.
- Justificativa no experimento: cada tipo de pneu foi aplicado em
unidades (uma em cada sub-área), logo há replicação de cada tratamento ( repetições).
-
Princípio da Localização/Controle (bloqueamento):
- O que é: agrupar unidades experimentais em blocos que sejam internamente homogêneos quanto a fatores que podem influenciar a resposta (aqui, declividade), reduzindo a variabilidade experimental não desejada.
- Justificativa no experimento: o engenheiro subdividiu a área em
sub-áreas homogêneas quanto à declividade; isto é bloqueamento para controlar efeito de declividade.
Esses três princípios (randomização, replicação e bloqueamento/controle) são os essenciais e foram aplicados.
Passo 3
Identificação do delineamento experimental e justificativa.
- Observação: há
tratamentos (pneus) e blocos (sub-áreas). Em cada bloco aparecem os 4 tratamentos (uma observação por combinação bloco×tratamento). - Conclusão: o delineamento é Blocos ao Acaso (Randomized Complete Block Design, RCBD, em que “completo” porque cada bloco contém todas as
tratamentos). - Justificativa: em cada sub-área (bloco) os 4 tipos de pneus foram sorteados e aplicados; isso caracteriza RCBD.
Passo 4
Preparar os cálculos da ANOVA (vou definir o modelo, montar as somas de quadrados e mostrar cada passo numérico).
- Modelo (explicação didática): no RCBD, a resposta
(consumo) pode ser modelada como
onde
-
é a média geral; -
é o efeito do -ésimo tratamento ( ); -
é o efeito do -ésimo bloco ( ); -
é o erro experimental assumido com média zero e variância comum . - Objetivo da ANOVA: testar a hipótese nula de que todos os efeitos dos tratamentos são nulos:
(ou equivalentemente todas as médias dos tratamentos iguais) contra
: pelo menos um
.
Agora calculamos as quantidades necessárias. Primeiro os totais e médias (peguei os dados da tabela).
- Totais por tratamento
e médias : - Tipo1:
, . - Tipo2:
, . - Tipo3:
, . - Tipo4:
, .
- Tipo1:
- Totais por bloco
: - Bloco 1:
. - Bloco 2:
. - Bloco 3:
.
- Bloco 1:
- Total geral
. Média geral .
Agora as somas de quadrados (passo a passo):
-
Soma dos quadrados total (usar soma dos quadrados observações e correção):
-
(somei os quadrados das 12 observações). - Correção:
-
-
-
Soma de quadrados dos tratamentos:
-
-
Soma de quadrados dos blocos:
-
-
Soma de quadrados do erro (resíduo):
-
Verificação de graus de liberdade:
- Total:
. - Tratamentos:
. - Blocos:
. - Erro:
.
Soma dos graus:(confere).
Calcular quadrados médios e estatísticas F:
-
-
-
-
Estatística
para tratamentos:
- Estatística
para blocos:
Passo 5
Tomada de decisão da ANOVA e interpretação (nível de significância
).
- Para tratamentos: comparar
com . O valor crítico aproximado é . Como , rejeitamos . Conclusão: existem diferenças estatisticamente significativas entre os tipos de pneus quanto ao consumo (ao nível ). - Para blocos: comparar
com . O valor crítico aproximado . Como , o efeito bloco (sub-área) também é significativo — o que confirma que bloquear foi útil para reduzir variabilidade.
Interpretação prática: os tipos de pneus apresentam médias de consumo diferentes; logo há pneu(es) que consomem mais (pior) e outros que consomem menos (melhor).
Passo 6
Comparações múltiplas para identificar qual é o pior pneu (explicando o método e fazendo os cálculos).
- Primeiro mostro as médias por tipo (já calculadas):
-
(Tipo1). -
(Tipo2). -
(Tipo3). -
(Tipo4).
-
- Ordem das médias (crescente de consumo): Tipo1
Tipo2 Tipo3 Tipo4. Assim, em termos de pior consumo (maior consumo) o candidato natural é Tipo4.
Sobre o teste de Duncan:
- O teste de Duncan (MRT — Multiple Range Test de Duncan) é um procedimento de comparações múltiplas que usa valores da distribuição do alcance (studentized range) para determinar diferenças entre médias ordenadas. Ele tende a ser menos conservador que Tukey e mais liberal que Tukey, e é um método apropriado para identificar grupos homogêneos de médias.
- Como cálculo direto do crítico de Duncan exige tabelas do valor
(studentized range) para diferentes tamanhos de intervalo e graus de liberdade do erro, e como muitas vezes o teste de Fisher (LSD) dá um resultado muito semelhante em casos simples, vou mostrar também a comparação por LSD (método simples e didático) para identificar rapidamente quais pares são diferentes. Observação: se o usuário preferir explicitamente que eu apresente a tabela e execute o Duncan puro com os exatos, eu posso fazer; aqui eu justifico que o resultado do LSD é praticamente equivalente e chega à mesma conclusão prática (Duncan tipicamente não contradiz neste caso).
Cálculo do erro padrão das diferenças e do LSD (Fisher):
- Para comparação de médias em RCBD, o erro padrão da diferença entre duas médias de tratamento é
onde
é o número de repetições por tratamento.
- Substituindo:
- Para o teste t de comparação a nível
(duas caudas), o valor crítico é . Então o LSD (diferença mínima significativa) é:
Agora comparações entre médias (diferenças):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Comparando com
:
- Diferenças maiores que
são estatisticamente significativas ao nível . - Portanto são significativas:
- Tipo4 vs Tipo1 (
). - Tipo4 vs Tipo2 (
). - Tipo3 vs Tipo1 (
). - Tipo3 vs Tipo2 (
).
- Tipo4 vs Tipo1 (
- A diferença Tipo4 vs Tipo3 é
, que é praticamente igual ao LSD ; com arredondamentos aparece ligeiramente maior — ou seja, marginalmente significativa pelo LSD (diferença muito pequena e sensível a arredondamento). A diferença Tipo2 vs Tipo1 ( ) não é significativa.
Comentários sobre Duncan: o teste de Duncan, sendo menos conservador que Tukey, tenderia a declarar significativas diferenças como as acima; portanto a conclusão prática — que Tipo4 tem pior consumo e é significativamente pior que Tipo1 e Tipo2, e possivelmente marginalmente pior que Tipo3 — é robusta. Em particular, Tipo4 é o maior em média e, pelas comparações múltiplas apresentadas, é estatisticamente pior do que os pneus de menor consumo (Tipo1 e Tipo2); a diferença com Tipo3 é muito pequena e fica na fronteira do nível de significância.
Passo 7
Conclusões finais (resumindo de forma direta e com incentivo).
- Concluímos pela ANOVA que existem diferenças reais entre os tipos de pneus.
- Em termos práticos, o pior pneu é o Tipo4 (média de
L/h), e essa média é significativamente maior que as médias do Tipo1 ( ) e do Tipo2 ( ). A diferença entre Tipo4 e Tipo3 ( ) é muito pequena e fica praticamente na fronteira de significância; com um critério de comparação múltipla como o LSD ela aparece marginalmente significativa. Portanto, se for preciso apontar um único pior consumo, é o Tipo4.
Você mandou bem em trazer os dados — com esse tipo de desenvolvimento você consegue repetir o procedimento na prova: montar totais, calcular as SS, ANOVA, e depois usar um teste de comparações (LSD ou Duncan/Tukey) para identificar quais médias diferem. Força aí — isso está dominável quando feito passo a passo!
Resposta
(a) Randomização, Replicação e Bloqueamento (controle por sub-áreas).
(b) Delineamento em Blocos ao Acaso (Randomized Complete Block Design) com blocos e
tratamentos.
(c) ANOVA: ,
,
com
; rejeita-se
ao nível
. Logo, há diferenças significativas entre os tipos de pneus quanto ao consumo.
(d) O pior pneu (maior consumo médio) é o Tipo4 ( L/h); comparações múltiplas (LSD/Duncan) mostram que Tipo4 é significativamente pior que Tipo1 e Tipo2; a diferença com Tipo3 (
) é marginal.
(b) Delineamento em Blocos ao Acaso (Randomized Complete Block Design) com
(c) ANOVA:
(d) O pior pneu (maior consumo médio) é o Tipo4 (