Uma empresa de engenharia deseja comparar a eficiência de duas marcas de baterias (Marca A e Marca B) usadas em equipamentos industriais. Eles acreditam que as médias de horas de operação contínua das duas baterias são diferentes e desejam testar essa hipótese. Foram testadas 30 baterias de cada marca, resultando nas seguintes estatísticas:
\begin{aligned} & \text { Marca A: } \text { média }=48 \text { horas, desvio padrão }=5 \text { horas } \\\ & \text { Marca B: } \text { média }=45 \text { horas, desvio padrão }=4 \text { horas } \end{aligned}éãéã
Com um nível de significância de 5 \%, é possível concluir que há uma diferença significativa na média de horas de operação contínua entre as duas marcas de baterias? Considere a situação que as variâncias populacionais das marcas A e B são iguais e desconhecida.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para comparar as médias de duas amostras independentes (Marca A e Marca B) de tamanhos n_1 = 30 e n_2 = 30, com variâncias populacionais iguais e desconhecidas. Vamos usar o teste t de Student bicaudal para variâncias iguais.

Passo 2

As hipóteses são
H_0:\mu_A = \mu_B
H_1:\mu_A \neq \mu_B
com nível de significância \alpha = 0{,}05.

Passo 3

Calculamos a variância agrupada (pooled variance):
s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{29\cdot25 + 29\cdot16}{58} = \frac{725 + 464}{58} = 20{,}5.
Logo s_p = \sqrt{20{,}5}\approx 4{,}528.

Passo 4

O estatístico de teste é
t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = \frac{48 - 45}{4{,}528\sqrt{\frac{1}{30} + \frac{1}{30}}} \approx \frac{3}{4{,}528\cdot\sqrt{\tfrac{2}{30}}} \approx 2{,}57.

Passo 5

Os graus de liberdade são df = n_1 + n_2 - 2 = 58. O valor crítico bicaudal para \alpha/2 = 0{,}025 e df=58 é t_{0{,}025,58}\approx 2{,}00. Como \lvert t\rvert = 2{,}57 > 2{,}00, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há diferença significativa entre as médias de horas de operação contínua das duas marcas de baterias.

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