Um aparelho é utilizado para testar a durabilidade de lâmpadas, o qual consta de oito soquetes ligados em paralelo e de um reostato ligado em série com um gerador. Oito lâmpadas da marca A e oito lâmpadas da marca B foram ensaiadas nesse aparelho, sob as mesmas condições, fornecendo as seguintes durações, em horas:
1 2 3 4 5 6 7 8
Marca A 24 38 49 31 35 40 26 36
Marca B 26 27 30 36 35 31 28 25
Ao nível de 5 \% de significância, podemos concordar com a afirmação do fabricante da marca A, de que suas lâmpadas têm maior média de durabilidade que as da marca B? Suponha que as variâncias populacionais são iguais porém desconhecida.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de tamanho n_A=n_B=8, supõe variâncias populacionais iguais porém desconhecidas, e pede um teste da hipótese unilateral
H_0:\mu_A \le \mu_B \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_A > \mu_B
ao nível de significância \alpha=5\%. Vamos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais: calcular médias, variâncias amostrais, variância agrupada, estatística t e compará-la ao valor crítico em 14 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular as médias amostrais:
para a Marca A, dados 24,38,49,31,35,40,26,36, temos
\bar x_A = \frac{24+38+49+31+35+40+26+36}{8} = \frac{279}{8} = 34,875.
para a Marca B, dados 26,27,30,36,35,31,28,25, temos
\bar x_B = \frac{26+27+30+36+35+31+28+25}{8} = \frac{238}{8} = 29,75.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais s_A^2 e s_B^2:
os desvios ao quadrado para A somam 448,875, logo
s_A^2 = \frac{448,875}{8-1} = 64,125.
os desvios ao quadrado para B somam 115,5, logo
s_B^2 = \frac{115,5}{8-1} = 16,5.

Passo 4

Calcular a variância agrupada
s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2} = \frac{7\cdot64,125 + 7\cdot16,5}{14} = 40,3125,
e seu desvio padrão
s_p = \sqrt{40,3125} = 6,349.

Passo 5

Calcular a estatística de teste
t = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{s_p\;\sqrt{\tfrac1{n_A}+\tfrac1{n_B}}} = \frac{34,875 - 29,75}{6,349\,\sqrt{\tfrac18+\tfrac18}} = \frac{5,125}{6,349\cdot0,5} = 1,615.

Passo 6

Obter o valor crítico para t com 14 graus de liberdade e nível unilateral \alpha=5\%:
t_{0,95;14} = 1,761.

Passo 7

Comparar t=1,615 com t_{0,95;14}=1,761. Como
1,615 < 1,761,
não rejeitamos H_0. Não há evidência suficiente, a 5\%, para afirmar que a média de durabilidade da marca A é maior que a da marca B.

Resposta

Não rejeitamos H_0. Não podemos concordar, ao nível de 5\%, que as lâmpadas da marca A têm média de durabilidade maior do que as da marca B.

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