Uma grande cadeia de magazines está interessada em saber se o valor médio das compras é maior em suas lojas do centro da cidade do que no “Shopping center” de certa localidade. Uma amostra aleatória das transações nos dois locais apresentou os resultados abaixo. Admitindo que as variâncias populacionais sejam diferentes, você acha que existe diferença entre o valor médio das compras nas lojas do centro da cidade e do shopping, ao nível de 5 \% ?
Centro Shopping
Média \mathrm{R} \ 70,00 &\mathrm{R} $85,00$
Desvio-padrão \mathrm{R} \ 9,00 &\mathrm{R} $18,00$
Tamanho da amostra 15 20

Passo 1

O problema compara duas amostras independentes de transações, uma do “Centro” e outra do “Shopping”, com médias \bar x_C=70, \bar x_S=85, desvios-padrão s_C=9, s_S=18 e tamanhos n_C=15, n_S=20. Queremos testar se há diferença entre os valores médios \mu_C e \mu_S ao nível \alpha=5\%, assumindo variâncias populacionais diferentes. Usaremos o teste t de Student de duas amostras com variâncias desiguais (Welch).

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu_C = \mu_S
H_1:\mu_C \neq \mu_S
É um teste bilateral com nível de significância \alpha=0{,}05.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste
t = \frac{\bar x_C - \bar x_S}{\sqrt{\dfrac{s_C^2}{n_C} + \dfrac{s_S^2}{n_S}}}.
Primeiro,
\frac{s_C^2}{n_C} = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5{,}4, \quad \frac{s_S^2}{n_S} = \frac{18^2}{20} = \frac{324}{20} = 16{,}2,
logo a raiz do denominador é
\sqrt{5{,}4 + 16{,}2} = \sqrt{21{,}6} \approx 4{,}648.
Como \bar x_C - \bar x_S = 70 - 85 = -15, temos
t \approx \frac{-15}{4{,}648} \approx -3{,}228.

Passo 4

O número de graus de liberdade efetivo \nu usa a fórmula de Welch:
\nu = \frac{\bigl(\tfrac{s_C^2}{n_C} + \tfrac{s_S^2}{n_S}\bigr)^2} {\displaystyle \frac{\bigl(\tfrac{s_C^2}{n_C}\bigr)^2}{n_C-1} + \frac{\bigl(\tfrac{s_S^2}{n_S}\bigr)^2}{n_S-1} }.
Calculando:
\text{num}=(21{,}6)^2=466{,}56, \quad \text{den}=\frac{5{,}4^2}{14}+\frac{16{,}2^2}{19} =\frac{29{,}16}{14}+\frac{262{,}44}{19} \approx2{,}083+13{,}818=15{,}901,
\nu\approx\frac{466{,}56}{15{,}901}\approx29{,}3\\ (\text{aprox. }29).

Passo 5

O valor crítico para um teste bilateral a \alpha=0{,}05 e \nu\approx29 é
t_{0{,}975,29}\approx2{,}045.

Passo 6

Como \lvert t\rvert = 3{,}228 > 2{,}045, rejeitamos H_0. Concluímos que há diferença significativa entre as médias dos dois locais ao nível de 5\%.

Resposta

Rejeita-se H_0. Existe diferença significativa entre o valor médio das compras no Centro e no Shopping ao nível de 5\%.

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