Uma empresa especializada desconta um cheque no valor nominal de \mathrm{R} \ 10.000,00 três meses antes de seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa deêà4 %$ ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto.
a) \mathrm{R} \ 1.090,00$
b) \mathrm{R} \ 1.100,00$
c) \mathrm{R} \ 1.110,00$
d) \mathrm{R} \ 1.200,00$
e) \mathrm{R} \ 1.248,00$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Valor nominal do cheque: \text{R\$ }10.000,00.
  • Pronto pagamento: três meses antes do vencimento, ou seja, n=3 meses.
  • Taxa informada: 4\% ao mês, isto é, i=0,04 (em forma decimal).
  • Tipo de desconto: desconto racional composto.
  • O enunciado pede: calcular o valor do desconto (aproximado) e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

O que é o desconto racional composto e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • No desconto racional composto (às vezes chamado de “desconto por dentro”) o valor presente P do título é obtido descontando-se o valor nominal N pela capitalização composta. A fórmula é
P=\dfrac{N}{(1+i)^{n}},
onde:
  • P é o valor presente (quanto a empresa paga hoje),
  • N é o valor nominal do título (aqui N=10000),
  • i é a taxa por período em forma decimal (aqui i=0,04),
  • n é o número de períodos (aqui n=3).
  • O desconto D (o que a empresa “desconta” do nominal) é a diferença entre o nominal e o valor presente:
D = N - P = N - \dfrac{N}{(1+i)^{n}} = N\left(1-(1+i)^{-n}\right).
Explicação intuitiva curta: o título vale \,N no vencimento, mas como se antecipa o recebimento por n períodos, o banco paga o valor P que, capitalizado a i por n períodos, resulta em N. O desconto é a diferença entre N e esse P.

Passo 3

Aplicando os números na fórmula: primeiro calculemos o fator (1+i)^{n}.
  • Temos (1+i) = 1+0,04 = 1,04.
  • Calcular (1,04)^{2}:
(1,04)^{2}=1,04\times1,04=1,0816.
  • Calcular (1,04)^{3}:
(1,04)^{3}=(1,04)^{2}\times1,04=1,0816\times1,04=1,124864.
Portanto (1+i)^{n} = 1,124864.

Passo 4

Calcular o valor presente P usando \;P=\dfrac{N}{(1+i)^{n}}.
  • Substituindo:
P=\dfrac{10000}{1,124864}.
  • Precisamos dividir 10000 por 1,124864. Uma forma prática é calcular o inverso de 1,124864: encontrando x tal que 1,124864\cdot x = 1. Por tentativa controlada ou divisão longa obtém-se
(1,04)^{-3}\approx 0,888996.
  • Então
P=10000\times0,888996\approx 8889,96.
(cheque rápido: 1,124864\times0,888996\approx0,9999996, muito próximo de 1, confirma a precisão).

Passo 5

Calcular o desconto D.
  • Usando D=N-P:
D=10000-8889,96=1110,04.
  • Arredondando para centavos: D\approx\text{R\$ }1110,04.

Passo 6

Comparar com as alternativas e escolher a mais próxima.
  • As alternativas fornecidas têm centavos terminando em 00; a que mais se aproxima de \text{R\$}1110,04 é \text{R\$ }1.110,00, que corresponde à alternativa (c).
Força aí — esse tipo de desconto sempre segue essa fórmula; treina mais um exemplo se quiser que eu te faça rapidinho!

Resposta

c) \text{R\$ }1.110,00

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