Um título sofre um desconto comercial de \mathrm{R} \ 9.810,00 três meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto simples deê3 %$ ao mês. Indique qual seria o desconto a mesma taxa se o desconto fosse racional simples.
a) \mathrm{R} \ 9.810,00$
b) \mathrm{R} \ 9.521,00$
c) \mathrm{R} \ 9.500,00$
d) \mathrm{R} \ 9.200,00$
e) \mathrm{R} \ 9.000,00$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O desconto comercial simples (desconto “por fora”) vale \mathrm{R}\$\,9.810,00.
  • Esse desconto foi aplicado três meses antes do vencimento, ou seja n=3 meses.
  • A taxa é de 3\% ao mês, ou seja i=0,03 por mês.
    O que se pede: determinar qual seria o desconto à mesma taxa e mesmo prazo se o desconto fosse o racional simples.

Passo 2

Entendendo o desconto simples comercial (desconto “por fora”):
  • Nesta convenção, o desconto D_c é calculado sobre o valor nominal N do título pela fórmula:
D_c = N \cdot i \cdot n.
  • Aqui D_c é o desconto comercial (valor subtraído do valor nominal), N é o valor nominal (valor de face) e i e n são, respectivamente, a taxa por período e o número de períodos.

Passo 3

Usar a fórmula do desconto comercial para encontrar o valor nominal N, porque o enunciado nos deu D_c, i e n.
Primeiro calcule i\cdot n:
i\cdot n = 0,03 \cdot 3 = 0,09.
Agora isole N em \;D_c = N\cdot i\cdot n\;:
N = \frac{D_c}{i\cdot n}.
Substituindo os números:
N = \frac{9{.}810}{0{,}09} = 109{.}000.
Portanto o valor nominal do título é \;N=\mathrm{R}\$\,109{.}000,00.

Passo 4

Entendendo o desconto racional simples (desconto “por dentro”):
  • No desconto racional simples, o valor presente PV do título é obtido descontando-se o juro simples do valor nominal; a fórmula é
PV = \frac{N}{1 + i\cdot n}.
  • O desconto racional D_r é a diferença entre o valor nominal e o valor presente:
D_r = N - PV = N - \frac{N}{1 + i\cdot n} = N\cdot\frac{i\cdot n}{1 + i\cdot n}.
Aqui D_r é o desconto racional que queremos calcular.

Passo 5

Calcular D_r com os valores obtidos:
Já sabemos que N=109{.}000 e i\cdot n=0{,}09. Então
D_r = N\cdot\frac{0{,}09}{1 + 0{,}09} = 109{.}000\cdot\frac{0{,}09}{1{,}09}.
Calcule o numerador:
109{.}000\cdot 0{,}09 = 9{.}810.
Agora divida por 1{,}09:
D_r = \frac{9{.}810}{1{,}09} = 9{.}000.
Portanto o desconto racional simples vale \mathrm{R}\$\,9{.}000,00.

Resposta

e) \mathrm{R}\$\,9.000,00

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