Uma empresa especializada em produtos alimentícios deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com sua linha de suplementos alimentares. A população de clientes deste produto é de 10.000 pessoas. Um estudo piloto, realizado com 100 clientes selecionados aleatoriamente, revelou que 80 % deles estavam satisfeitos. Qual o tamanho mínimo da amostra, considerando um nível de confiança de 95% e um erro máximo tolerável de 5%, a ser considerado no estudo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre como determinar o tamanho mínimo de uma amostra. A empresa quer saber qual a proporção de clientes satisfeitos com seus suplementos alimentares. Temos uma população de 10.000 clientes e um estudo inicial com 100 clientes mostrou que 80% estão satisfeitos. A gente vai precisar calcular o tamanho mínimo da amostra para ter 95% de confiança e um erro máximo de 5%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender alguns conceitos básicos. Quando queremos estimar uma proporção da população, usamos uma fórmula que considera o nível de confiança, a margem de erro e a proporção estimada. A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
n = ( Z^2 times p times (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra
  • $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança
  • $ p $ é a proporção estimada
  • $ E $ é a margem de erro

Passo 3

Vamos identificar cada um desses valores para o nosso problema:
  • Nível de confiança de 95%: O valor z para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
  • Proporção estimada ($ p $): No estudo piloto, 80% dos clientes estavam satisfeitos, então $ p = 0,80 $.
  • Margem de erro ($ E $): O erro máximo tolerável é de 5%, ou seja, $ E = 0,05 $.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 times 0,80 times (1 - 0,80)0,05^2 )

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ 1 - p $:
1 - p
  1. Multiplicar $ p \times (1 - p) $:
1 - 0,80 = 0,20
  1. Calcular $ Z^2 $:
p times (1 - p)
  1. Multiplicar $ Z^2 \times p \times (1 - p) $:
0,80 times 0,20 = 0,16
  1. Dividir pelo quadrado da margem de erro:
Z^2

Passo 6

Como não podemos ter uma fração de pessoa, arredondamos para cima. Então, o tamanho mínimo da amostra é de 246 clientes.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é de 246 clientes.

Exercícios relacionados