Uma empresa especializada em produtos alimentícios deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com sua linha de suplementos alimentares. A população de clientes deste produto é de 10.000 pessoas. Um estudo piloto, realizado com 100 clientes selecionados aleatoriamente, revelou que
deles estavam satisfeitos. Qual o tamanho mínimo da amostra, considerando um nível de confiança de 95% e um erro máximo tolerável de 5%, a ser considerado no estudo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre como determinar o tamanho mínimo de uma amostra. A empresa quer saber qual a proporção de clientes satisfeitos com seus suplementos alimentares. Temos uma população de 10.000 clientes e um estudo inicial com 100 clientes mostrou que 80% estão satisfeitos. A gente vai precisar calcular o tamanho mínimo da amostra para ter 95% de confiança e um erro máximo de 5%.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender alguns conceitos básicos. Quando queremos estimar uma proporção da população, usamos uma fórmula que considera o nível de confiança, a margem de erro e a proporção estimada. A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra
- $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança
- $ p $ é a proporção estimada
- $ E $ é a margem de erro
Passo 3
Vamos identificar cada um desses valores para o nosso problema:
- Nível de confiança de 95%: O valor z para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
- Proporção estimada ($ p $): No estudo piloto, 80% dos clientes estavam satisfeitos, então $ p = 0,80 $.
- Margem de erro ($ E $): O erro máximo tolerável é de 5%, ou seja, $ E = 0,05 $.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ 1 - p $:
- Multiplicar $ p \times (1 - p) $:
- Calcular $ Z^2 $:
- Multiplicar $ Z^2 \times p \times (1 - p) $:
- Dividir pelo quadrado da margem de erro:
Passo 6
Como não podemos ter uma fração de pessoa, arredondamos para cima. Então, o tamanho mínimo da amostra é de 246 clientes.
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é de 246 clientes.